习题课——数列求和课后篇巩固探究A组1.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S5等于()A.B.C.D.解析因为an=,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=.答案D2.已知数列{an}的通项公式an=,若该数列的前k项之和等于9,则k等于()A.99B.98C.97D.96解析因为an=,所以其前n项和Sn=(-1)+()+…+()=-1.令-1=9,解得k=99.答案A3.数列1,2,3,4,…的前n项和为()A.(n2+n-2)+B.n(n+1)+1-C.(n2-n+2)-D.n(n+1)+3解析数列的前n项和为1++2++3++…+n+=(1+2+3+…+n)++…+-1=(n2+n-2)+,故选A.答案A4.已知{an}为等比数列,{bn}为等差数列,且b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是1,1,2,…,则数列{cn}的前10项和为()A.978B.557C.467D.979解析由题意可得a1=1,设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,则∴q2-2q=0.∵q≠0,∴q=2,d=-1.∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n.设数列{cn}的前n项和为Sn,则S10=20+0+21-1+…+29-9=(20+21+…+29)-(1+2+…+9)==1023-45=978.答案A5.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=,则该数列的前18项和为()A.2101B.2012C.1012D.1067解析由题意可得a3=a1+1,a5=a3+1=a1+2,所以奇数项组成以公差为1,首项为1的等差数列,共有9项,因此S奇==45.偶数项a4=2a2,a6=2a4=22a2,因此偶数项组成以2为首项,2为公比的等比数列,共有9项,所以S偶==-2+210=1022.故数列{an}的前18项和为1022+45=1067.答案D6.已知数列{an}的通项公式an=2n-,则其前n项和为.解析数列{an}的前n项和Sn=+…+=2(1+2+…+n)-=2·=n2+n+-1.答案n2+n+-17.数列,…的前n项和等于.解析∵an=,∴Sn===.答案8.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn.解(1)设{an}的公差为d,则Sn=na1+d.由已知可得解得故{an}的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知,从而数列的前n项和为Tn==.9.导学号04994055(2017·辽宁统考)已知等差数列{an}的公差为2,且a1,a1+a2,2(a1+a4)成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列的前n项和为Sn,求证:Sn<6.(1)解∵{an}为等差数列,∴a2=a1+d=a1+2,a4=a1+3d=a1+6.∵a1,a1+a2,2(a1+a4)成等比数列,∴(a1+a2)2=2a1(a1+a4),即(2a1+2)2=2a1(2a1+6),解得a1=1,∴an=1+2×(n-1)=2n-1.(2)证明由(1),知.∴Sn=+…+,①Sn=+…+,②①-②,得Sn=1+2=1+2×=1+2-=3-=3-,∴Sn=6-.∵n∈N*,>0,∴Sn=6-<6.B组1.已知数列{an}的通项公式an=(-1)n-1n2,则其前n项和为()A.(-1)n-1B.(-1)nC.D.-解析依题意Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1n2.当n为偶数时,Sn=12-22+32-42+…-n2=(12-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n2]=-[1+2+3+4+…+(n-1)+n]=-.当n为奇数时,Sn=12-22+32-42+…-=Sn-1+n2=-+n2=.∴Sn=(-1)n-1.故选A.答案A2.已知数列{an}为,…,则数列{bn}=的前n项和Sn为()A.4B.4C.1-D.解析∵an=,∴bn==4.∴Sn=4=4.答案A3.已知Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,a2=2,a3=3,数列{an+an+1+an+2}是公差为2的等差数列,则S25=()A.232B.233C.234D.235解析令bn=an+an+1+an+2,则b1=1+2+3=6,由题意知bn=6+2(n-1)=2n+4.因为S25=a1+a2+a3+…+a25=a1+b2+b5+…+b23,而b2,b5,…,b23构成公差为6的等差数列,且b2=8,于是S25=1+8×8+×6=233.答案B4.数列11,103,1005,10007,…的前n项和Sn=.解析因为数列的通项公式为an=10n+(2n-1),所以Sn=(10+1)+(102+3)+…+(10n+2n-1)=(10+102+…+10n)+[1+3+…+(2n-1)]=(10n-1)+n2.答案(10n-1)+n25.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和等于.解析数列的通项为an=1+2+22+…+2n-1,因为an=1+2+22+…2n-1==2n-1,所以该数列的前n项和Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(2+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.答案2n+1-n-26.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n,而bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,则使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m等于.解析由Sn=3n2-2n,得an=6n-5.∵bn=,∴Tn=+…+=.∵,∴要使对n∈N*成立,需有,即m≥10,故符合条件的最小正整数为10.答案107.已知递增数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=+n).(1)求a1及数列{an}的通项公式;(2)设cn=求数列{cn}的前20项和T20.解(1)当n=1时,a1=S1=+1),解得a1=1.当n≥2时,Sn-1=+n-1),an=Sn-Sn-1=+1),解得an-an-1=1或an+an-1=1(n≥2).因为{an}为递增数列,所以an-an-1=1,{an}是首项为1,公差为1的等差数列,所以an=n.(2)由题意,知cn=所以T20=+3×(21+23+…+219)+10=+…++3×+10=+2×(410-1)+10=+221+8=221+.8.导学号04994056已知数列{an}的前n项和为Sn,S1=1,S2=2,当n≥2时,Sn+1-Sn-1=2n.(1)求证:an+2-an=2n(n∈N*);(2)求数列{an}的通项公式;(3)设Tn=a1+a2+a3+…+an,求Tn.(1)证明当n≥2时,因为an+1+an=2n,an+2+an+1=2n+1,所以an+2-an=2n.又因为a1=1,a2=1,a3=3,所以a3-a1=2,所以an+2-an=2n(n∈N*).(2)解当n为奇数时,an-a1=(an-an-2)+(an-2-an-4)+…+(a5-a3)+(a3-a1)=2n-2+2n-4+…+23+2=(2n-1-1),所以an=.同理,当n为偶数时,an=.故数列{an}的通项公式是an=(3)解由于Tn=a1+a2+a3+…+an,①Tn=a1+a2+…+an-1+an,②①+②得Tn=n+an.所以当n为奇数时,Tn=n+;当n为偶数时,Tn=n+.故Tn=
