第4课时数列求和[课时作业][A组基础巩固]1．在等差数列{an}中，a9＋a11＝10，则数列{an}的前19项和为()A．98B．95C．93D．90解析：S19＝＝＝＝95.答案：B2．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于()A．－6(1－3－10)B.(1－3－10)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)解析：由＝－，由a2＝－，∴a1＝4，∴Sn＝3，令n＝10得S10＝3(1－3－10)．答案：C3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.(1－4－n)D.(1－2－n)解析：由＝q3＝＝知q＝，而新的数列{anan＋1}仍为等比数列，且公比为q2＝.又a1a2＝4×2＝8，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．答案：C4．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为()A.B.C.D.解析：依题意bn＝＝＝＝－，所以{bn}的前10项和为S10＝＋＋＋…＋＝－＝，故选B.答案：B5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为()A.B.C.D.解析：由S5＝5a3及S5＝15得a3＝3，∴d＝＝1，a1＝1，∴an＝n，＝＝－，所以数列的前100项和T100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选A.答案：A6．数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{}的前10项和为________．解析：由题意得：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋n－1＋…＋2＋1＝，所以＝2(－)，Sn＝2(1－)＝，S10＝.答案：7．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2017＝________.解析：∵an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π＝(－1)n＋1，∴当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝－1，k∈N*，∴S2017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2016＋a2017)＝1＋(－1)×1008＝－1007.答案：－10078．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和为________．解析：该数列的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an，而an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1.∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.答案：2n＋1－2－n9．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.∵a3＝－6，a6＝0，∴解得∴an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.(2)设等比数列{bn}的公比为q，∵b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，∴－8q＝－24，∴q＝3，∴{bn}的前n项和Sn＝＝＝4(1－3n)．10．已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)设数列{an}的公比为q，由题知：2(a3＋2)＝a2＋a4，∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n.(2)bn＝n·2n，∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.②①－②得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－2－(n－1)·2n＋1.∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1.[B组能力提升]1．数列1，，，…，的前n项和为()A.B.C.D.解析：该数列的通项为an＝，分裂为两项差的形式为an＝2，令n＝1,2,3，…，则Sn＝2，∴Sn＝2＝.答案：B2．数列，，，…，，…的前n项和为()A.B.C.D.解析：∵an＝＝，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝＝×＝.答案：B3．已知点在直线l：y＝－x＋＋2上，则数列{an}的前30项的和为________．解析：点在直线l：y＝－x＋＋2上，∴an＝2－sin，sin的最小正周期为4，取值是1,0，－1,0的循环，∴数列{an}的前30项和S30＝30×2－[7×(1＋0－1＋0)＋1＋0]＝59.答案：594．设f(x)＝，则f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝________.解析：f(x)＝，f(1－x)＝＝＝，∴f(x)＋f(1－x)＝＝，即f(x)＋f(1－x)是一个定值．∴f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝6×＝3.答案：35．(2016·高考全国Ⅱ卷)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．解析：(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.(2)因为bn＝所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.6．等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得，解得.所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n.所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.
