高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第2课时 等比数列的前n项和公式的性质及应用优化练习 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学试题VIP免费

第2课时等比数列的前n项和公式的性质及应用[课时作业][A组基础巩固]1．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an解析：Sn＝＝＝3－2an.答案：D2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2－a5＝0，则＝()A．5B．8C．－8D．15解析： 8a2－a5＝0，∴8a1q＝a1q4，∴q3＝8，∴q＝2，∴＝＝1＋q2＝5.答案：A3．已知在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为()A．514B．513C．512D．510解析：由已知得解得q＝2或q＝. q为整数，∴q＝2.∴a1＝2，∴S8＝＝29－2＝510.答案：D4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()A.B.C.D.解析：由a2a4＝1⇒a1＝，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝7，联立得：＝0，∴q＝，a1＝4，S5＝＝.答案：B5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝126，则n＝________.解析： a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴Sn＝＝126，∴2n＝64，∴n＝6.答案：66．等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.解析：由an＋2＋an＋1＝6an，得qn＋1＋qn＝6qn－1，即q2＋q－6＝0，q>0，解得q＝2，又 a2＝1，∴a1＝，∴S4＝＝.答案：7．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，依题意得a2＝a1·q＝q，a3＝a1q2＝q2，S1＝a1＝1，S2＝1＋q，S3＝1＋q＋q2，又3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(1＋q)＝3＋1＋q＋q2，所以q＝3(q＝0舍去)．所以an＝a1qn－1＝3n－1.答案：3n－18．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：log0.5Sn＋log0.5Sn＋2>2log0.5Sn＋1.证明：设{an}的公比为q，由已知得a1>0，q>0. Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1，∴SnSn＋2－S＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1＝Sna1＋qSnSn＋1－a1Sn＋1－qSnSn＋1＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1<0，∴Sn·Sn＋2log0.5S，即log0.5Sn＋log0.5Sn＋2>2log0.5Sn＋1.9．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．解析：由题设知a1≠0，Sn＝，则由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0.(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，因为q<1，解得q＝－1或q＝－2.当q＝－1时，代入①得a1＝2，通项公式an＝2×(－1)n－1；当q＝－2时，代入①得a1＝；通项公式an＝×(－2)n－1.综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n－1；当q＝－2时，an＝×(－2)n－1.[B组能力提升]1．在等比数列{an}中，公比q＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a10＝35，则S10＝()A.B.C．235D.解析：由题意知log2(a1·a2·…·a10)＝35，∴a1·a2·a3·…·a10＝235.∴a1·(a1q)·(a1q2)·…·(a1q9)＝235.∴aq1＋2＋3＋…＋9＝235.∴a·245＝235，即a＝，∴a1＝.∴a1＋a2＋…＋a10＝＝.答案：A2．已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()A．a1d>0，dS4>0B．a1d<0，dS4<0C．a1d>0，dS4<0D．a1d<0，dS4>0解析：因为{an}是等差数列，a3，a4，a8成等比数列，所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)⇒a1＝－d，所以S4＝2(a1＋a4)＝2(a1＋a1＋3d)＝－d，所以a1d＝－d2<0，dS4＝－d2<0.答案：B3．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．解析：由题意可知q＝2，设该数列为a1，a2，a3，…，a2n，则an＋an＋1＝24，又a1＝1，∴qn－1＋qn＝24，即2n－1＋2n＝24，解得n＝4，∴项数为8项．答案：84．(2016·高考全国Ⅰ卷)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．解析：设{an}的公比为q，于是a1(1＋q2)＝10，①a1(q＋q3)＝5，②联立①②得a1＝8，q＝，∴an＝24－n，∴a1a2…an＝23＋2＋1＋…＋(4－n)＝2－n2＋n＝2－(n－)2＋≤26＝64.∴a1a2…an的最大值为64.答案：645．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5，S...