2.5第2课时等差、等比数列的综合应用A级基础巩固一、选择题1．数列an＝，其前n项之和为，则项数n为()A．12B．11C．10D．9答案：D2．数列{an}、{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为()A.B.C.D.解析：因为an＝(n＋1)(n＋2)，所以bn＝＝＝－，所以S10＝＝－＝.答案：B3．数列{an}的通项公式an＝，则该数列的前________项之和等于9.()A．99B．98C．97D．96解析：an＝＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝9⇒n＋1＝100，所以n＝99.答案：A4．数列，，，…，，…的前n项和为()A.B.C.D.解析：因为＝，得前n项和Sn＝(－＋－＋－＋…＋－)＝＝.答案：B5．已知数列{an}的通项公式an＝log2(n∈N*)，设{an}的前n项和为Sn，则使Sn<－5成立的正整数n()A．有最大值63B．有最小值63C．有最大值31D．有最小值31解析：an＝log2，所以Sn＝a1＋…＋an＝log2＋log2＋…＋log2＝log2＝log2，令Sn<－5，则log2<－5，所以n＋2>26＝64，所以n>62，故n的最小值为63.答案：B二、填空题6．数列{an}中，an＝，则它的前n项和Sn＝________．解析：易知数列{an}的奇数项为以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以3为首项，14为公差的等差数列．(1)当n为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，所以Sn＝＋＋·4＝＋；(2)当n为偶数时，奇数项、偶数项各有项，所以Sn＝＋×3＋×4＝＋.答案：7．已知数列{an}的通项公式为an＝log2(n2＋3)－2，那么log23是这个数列的第________项．解析：令an＝log23⇒log2(n2＋3)－2＝log23⇒n2＋3＝12，所以n2＝9，n＝3.答案：38．下列命题中正确命题为________(填序号)．①常数列一定是等比数列；②等比数列前n项和Sn＝(其中a1为首项，q为公比)；③前n项和Sn为n的二次函数的数列一定是等差数列；④0不可能是任何等比数列的一项．答案：④三、解答题9．已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an(n∈N*)，求{bn}的通项公式bn.解：(1)由题意，得2a2＝a1＋a3－1，即2a1q＝a1＋a1q2－1，整理得2q＝q2.又q≠0，解得q＝2，所以an＝2n－1.(2)当n＝1时，b1＝a1＝1；当n≥2时，nbn＝an－an－1＝2n－2，即bn＝，所以bn＝10．已知数列{an}的通项公式为an＝求Sn.解：①当n为奇数时，Sn＝[1＋13＋…＋(6n－5)]＋(42＋44＋…＋4n－1)＝·＋＝＋＝＋.②当n为偶数时，Sn＝[1＋13＋…＋(6n－11)]＋(42＋44＋…＋4n－1＋4n)＝＋.B级能力提升1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析：因为an＋1＝an＋ln，所以an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－lnn.2又a1＝2，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln2－ln1＋ln3－ln2＋ln4－ln3＋…＋lnn－ln(n－1)]＝2＋lnn－ln1＝2＋lnn.答案：A2．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________．解析：因为{an}为等比数列，且a1＝，a4＝－4，所以q3＝＝－8，所以q＝－2，所以an＝(－2)n－1，所以|an|＝2n－2，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝＝.答案：3．(2016·山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝.求数列{cn}的前n项和Tn.解析：(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d，由即可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1.(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1，又Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×＝－3n·2n＋2所以Tn＝3n·2n＋23
