第2课时等比数列的性质[课时作业][A组基础巩固]1．如果数列{an}是等比数列，那么()A．数列{a}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lgan}是等比数列D．数列{nan}是等比数列解析：设bn＝a，则＝＝2＝q2，∴{bn}为等比数列；＝2an＋1－an≠常数；当an<0时，lgan无意义；设cn＝nan，则＝＝·q≠常数．答案：A2．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于()A．9B．3C．－3D．－9解析：a1＝a2－3，a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，由于a1，a3，a4成等比数列，a＝a1a4，即(a2＋3)2＝(a2－3)(a2＋6)，解得a2＝－9.答案：D3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于()A．16B．32C．64D．256解析：由已知，得a1a19＝16.又∵a1·a19＝a8·a12＝a，∴a8·a12＝a＝16.又an>0，∴a10＝4，∴a8·a10·a12＝a＝64.答案：C4．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为()A．9B．1C．2D．3解析：∵a3a5a7a9a11＝aq30＝243，∴＝＝a1q6＝＝3.答案：D5．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝()A．2B．1C.D.解析：由题意可得a3a5＝a＝4(a4－1)⇒a4＝2，所以q3＝＝8⇒q＝2，故a2＝a1q＝.答案：C6．等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5＝________.解析：由题意，得a1＋a2＝1，a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝9，∴q2＝9.又an>0，∴q＝3.故a4＋a5＝(a3＋a4)q＝9×3＝27.答案：277．已知等比数列{an}的公比q＝－，则＝________.解析：＝＝＝－2.答案：－28．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________.解析：因为三个正数a，b，c成等比数列，所以b2＝ac＝(5＋2)(5－2)＝1，因为b>0，所以b＝1.答案：19．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，求数列{an}的通项公式．解析：设数列{an}的首项为a1，公比为q.∵a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，∴由①，得a1＝q，由②，得q＝2或q＝.又数列{an}为递增数列，∴a1＝q＝2，∴an＝2n.10．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，求log(a5＋a7＋a9)的值．解析：∵log3an＋1＝log3an＋1，即log3an＋1－log3an＝log3＝1.∴＝3.∴数列{an}是等比数列，公比q＝3.则log(a5＋a7＋a9)＝log[q3·(a2＋a4＋a6)]＝log[33·9]＝－5.[B组能力提升]1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝()A.B.C.D．2解析：∵a3·a9＝a＝2a，∴q2＝2＝2.又q>0，∴q＝.∴a1＝＝＝.答案：B2．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a5成等比数列，则a2等于()A．－4B．2C．3D．－3解析：∵a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a1·a5.∴a＝(a2－d)·(a2＋3d)，即a＝(a2－2)(a2＋6)．∴a2＝3.答案：C3．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.解析：∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b＝16.答案：164．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________．解析：不妨设a>b，由根与系数的关系得a＋b＝p，a·b＝q，则a>0，b>0，则a，－2，b为等比数列，a，b，－2成等差数列，则a·b＝(－2)2＝4，a－2＝2b，∴a＝4，b＝1，∴p＝5，q＝4，所以p＋q＝9.答案：95．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．解析：由an＋1＝，得＝＋1.所以＋1＝2(＋1)．又a1＝1，所以＋1＝2，所以数列{＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝.6．在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3.(1)求d，q的值；(2)是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由a2＝b2，a8＝b3，得即解方程组得或(舍)(2)由(1)知an＝1＋(n－1)·5＝5n－4，bn＝b1qn－1＝6n－1.由an＝logabn＋b，得5n－4＝loga6n－1＋b，即5n－4＝nloga6＋b－loga6.比较系数得∴所以存在a＝6，b＝1，使得对一切自然数，都有an＝logabn＋b成立.
