高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列的概念和通项公式优化练习 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学试题VIP免费

第1课时等比数列的概念和通项公式[课时作业][A组基础巩固]1．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－，则a6等于()A．1B．－1C．2D.解析：由题知a6＝a1q5＝32×5＝－1，故选B.答案：B2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是()A．a≠1B．a≠0且a≠1C．a≠0D．a≠0或a≠1解析：由a1≠0，q≠0，得a≠0,1－a≠0，所以a≠0且a≠1.答案：B3．在等比数列{an}中，a2016＝8a2013，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8解析：q3＝＝8，∴q＝2.答案：A4．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于()A．64B．81C．128D．243解析：∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1×26＝64.答案：A5．等比数列{an}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，则＝()A．－B.C.D．－或解析：a1，a3，a2成等差数列，所以a3＝a1＋a2，从而q2＝1＋q，∵q>0，∴q＝，∴＝＝.答案：C6．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.解析：设公比为q，则⇒⇒q2＝4，得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.答案：57．数列{an}为等比数列，an>0，若a1·a5＝16，a4＝8，则an＝________.解析：由a1·a5＝16，a4＝8，得aq4＝16，a1q3＝8，所以q2＝4，又an>0，故q＝2，a1＝1，an＝2n－1.答案：2n－18．若k,2k＋2,3k＋3是等比数列的前3项，则第四项为________．解析：由题意，(2k＋2)2＝k(3k＋3)，解得k＝－4或k＝－1，又k＝－1时，2k＋2＝3k＋3＝0，不符合等比数列的定义，所以k＝－4，前3项为－4，－6，－9，第四项为－.答案：－9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.∴Sn＋1－Sn＝an＋1＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.∴an＋1＝2an.①又∵S1＝a1＝2a1＋1，∴a1＝－1≠0.由①式可知，an≠0，∴由＝2知{an}是等比数列，an＝－2n－1.10．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？解析：(1)∵2an＝3an＋1，∴＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝，所以a5＝3，由于各项均为负，故a1＝－，an＝－n－2.(2)设an＝－，则－＝－n－2，n－2＝4，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项．[B组能力提升]1．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于()A．210B．220C．216D．215解析：由等比数列的定义，a1·a2·a3＝3，故a1·a2·a3·…·a30＝3.又q＝2，故a3·a6·a9·…·a30＝220.答案：B2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84解析：设等比数列公比为q，则a1＋a1q2＋a1q4＝21，又因为a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42.答案：B3．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2014和a2015是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2016＋a2017＝________.解析：4x2－8x＋3＝0的两根分别为和，q>1，从而a2014＝，a2015＝，∴q＝＝3.a2016＋a2017＝(a2014＋a2015)·q2＝2×32＝18.答案：184．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.解析：设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12可得q9＝3，又an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.答案：145．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求这四个数．解析：由题意，设这四个数为，b，bq，a，则解得或∴这四个数依次为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.6．已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．解析：(1)证明：由已知得an＋1＝a＋2an，∴an＋1＋1＝a＋2an＋1＝(an＋1)2.∵a1＝2，∴an＋1＋1＝(an＋1)2>0.∴lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)，即＝2，且lg(1＋a1)＝lg3.∴{lg(1＋an)}是首项为lg3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，lg(1＋an)＝2n－1·lg3＝lg3，∴1＋an＝3，∴an＝3－1.