第2课时数列的递推公式课后篇巩固探究A组1.数列,…的递推公式可以是()A.an=(n∈N*)B.an=(n∈N*)C.an+1=an(n∈N*)D.an+1=2an(n∈N*)解析数列从第2项起,后一项是前一项的,故递推公式为an+1=an(n∈N*).答案C2.符合递推关系式an=an-1的数列是()A.1,2,3,4,…B.1,,2,2,…C.,2,,2,…D.0,,2,2,…解析B中从第2项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式an=an-1.答案B3.在数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=()A.-3B.-11C.-5D.19解析由an+1=an+2-an,得an+2=an+an+1,则a3=a1+a2=7,a4=a2+a3=12,a5=a3+a4=19.答案D4.(2017·浙江绍兴一中月考)已知数列{an}的通项公式为an=n-7+2,则此数列中数值最小的项是()A.第10项B.第11项C.第12项D.第13项解析因为an=n-7+2=,所以易知当n=12时,an取得最小值,即此数列中数值最小的项是第12项.故选C.答案C5.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是()A.2n-1B.C.n2D.n解析法一:构造法.由已知整理,得(n+1)an=nan+1,∴,∴数列是常数列,且=1,∴an=n.法二:累乘法.当n≥2时,,…,两边分别相乘,得=n.∵a1=1,∴an=n.答案D6.在数列{an}中,若a1=2,an+1=an+n-1,则a4=.解析a2=a1+1-1=2,a3=a2+2-1=3,a4=a3+3-1=5.答案57.已知数列{an}的通项公式an=n-,则该数列是.(填“递增数列”“递减数列”“摆动数列”或“常数列”)解析an=n-=-,当n增大时,n+增大,-增大,所以该数列是递增数列.答案递增数列8.若数列{an}满足an+1=2an-1,且a8=16,则a6=.解析∵an+1=2an-1,∴a8=2a7-1=16,解得a7=,又a7=2a6-1=,解得a6=.答案9.导学号04994025在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求an.解由题意,得an+1-an=ln,∴an-an-1=ln(n≥2),an-1-an-2=ln,…a2-a1=ln,∴当n≥2时,an-a1=ln=lnn,∴an=2+lnn(n≥2).当n=1时,a1=2+ln1=2,符合上式,∴an=2+lnn(n∈N*).10.求三角形数数列1,3,6,10,…的通项公式.解用{an}表示该数列,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n(n≥2).以上各式两边分别相加,得an-a1=2+3+4+…+n.∵a1=1,∴an=1+2+3+4+…+n=,即所求通项公式an=.B组1.已知数列{an},a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an,则a6+a4-3a5的值为()A.3B.-2C.-1D.0解析∵an+2=3an+1-an,∴an+2+an=3an+1.令n=4,得a6+a4=3a5,∴a6+a4-3a5=0.答案D2.已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,则a10=()A.-12B.-24C.-30D.-42解析令p=q=2,则a4=2a2=-12,令p=4=q,则a8=2a4=-24.令p=8,q=2,则a10=a8+a2=-30.答案C3.在数列{an}中,已知a1=1,a2=2,an+2=an+1-an(n∈N*),则a2018=()A.1B.-1C.-2D.2解析因为a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,所以a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,…,所以数列的项以6为周期重复出现,a2018=a2=2,故选D.答案D4.已知数列{an},a1=1,lnan+1-lnan=1,则数列{an}的通项公式是()A.an=nB.an=C.an=en-1D.an=解析∵lnan+1-lnan=1,∴ln=1.∴=e.由累乘法可得an=en-1.答案C5.在数列{an}中,a1=1,an+1=-1,则此数列的前4项和为.解析∵a1=1,an+1=-1,∴a2=12-1=0,a3=02-1=-1,a4=(-1)2-1=0,故前4项和a1+a2+a3+a4=0.答案06.已知数列{an}满足:an≤an+1,an=n2+λn,n∈N*,则实数λ的最小值是.解析∵an≤an+1,∴n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1),即λ≥-(2n+1)对任意n∈N*成立,∴λ≥-3.故λ的最小值为-3.答案-37.已知数列{an}满足an=+…+.(1)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?(2)证明:an≥对一切正整数恒成立.(1)解数列{an}是递增数列.理由如下:∵an=+…+,∴an+1-an==.又n∈N*,∴an+1-an>0.∴数列{an}是递增数列.(2)证明由(1)知数列{an}为递增数列,∴数列{an}的最小项为a1=.∴an≥a1=,即an≥对一切正整数恒成立.8.导学号04994026(2017·陕西西安八十三中月考)已知数列{an}的通项公式为an=1+,其中a∈R.(1)若a=-9,求数列{an}的最小项和最大项;(2)若不等式an≤a8对任意的n∈N*恒成立,求实数a的取值范围.解(1)若a=-9,则an=1+.于是,结合函数f(x)=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,且a5>a6>a7>…>1.故数列{an}的最小项为a4=1+=0,最大项为a5=1+=2.(2)对an=1+进行变形,可得an=1+.因为不等式an≤a8对任意的n∈N*恒成立,所以结合函数f(x)=1+的单调性,可知应满足7<-<8,解得-16
