高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积课时训练 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、平面向量数量积的物理背景及其含义1．平面向量数量积的物理背景物理中的功是一个与力及这个力作用下的物体产生的位移有关的量，并且这个量是一个标量，即：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功||||cosWFsFs，其中θ为力F与位移s之间的夹角.而力与位移都是矢量，这说明两个也可以进行运算.2．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量,ab，我们把数量||||cosab叫做向量a与b的(innerproduct)(或内积)，记作ab,即ab，其中θ是a与b的夹角.我们规定，零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影的概念设非零向量a与b的夹角是θ，则||cosa(||cosb)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的(projection).如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a与b的夹角为锐角、钝角、直角时向量a在b方向上的投影的情形，其中1OB，它的意义是，向量a在向量b方向上的投影长是向量1OB�的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到ab的几何意义：数量积ab等于a的长度||a与b在a方向上的投影||cosb的.3．平面向量数量积的性质与运算律1（1）平面向量数量积的性质由向量数量积的定义，设,ab都是非零向量，则有：①ab；②22||aaaa或||aaa；③当a与b同向时,||||abab；当a与b反向时,ab；④cos||||abab,其中是非零向量a与b的夹角；⑤||||||abab，当且仅当向量,ab共线,即∥ab时等号成立.（2）平面向量数量积的运算律由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算，并且这种运算涉及长度、角度等的运算，因此有如下三条运算律：已知向量,,abc和实数,则①交换律：abba；②数乘结合律：()()abab=；③分配律：()abc=acbc.（3）两个结论①222()2abaabb；②()()abab.二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．平面向量数量积的坐标表示在平面直角坐标系中，设,ij分别是x轴，y轴上的单位向量.由于向量1122(,),(,)xyxyab分别等价于1122,xyxyaijbij，根据向量数量积的运算，有1212212()()xyxyxxabijiji1221122xyxyyyij+jij，由于,ij为正交单位向量，故221ij,0ijji，从而212xxab12yy.即ab，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的.2．平面向量的模的坐标表示（1）平面向量的模的坐标公式若向量(,)xya，由于2||aa，所以||a.其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根.（2）平面内两点间的距离公式已知原点(0,0)O，点1122(,),(,)xyAxyB，则22112121(,)(,)(,)xyxyxxyAOAyBOB�，于是||AB�.其含义是：向量AB�的模等于A,B两点之间的距离.3．平面向量垂直的坐标表示已知非零向量1122(,),(,)xyxyab，则0abab.4．平面向量夹角的坐标表示已知非零向量1122(,),(,)xyxyab，是a与b的夹角，则cos||||abab.参考答案：一、1．矢量2．（1）数量积||||cosab（2）投影||cosa（3）乘积3．（1）0ab||||ab（2）()ab（3）22ab二、1．1212xxyy和2．（1）22xy（2）222121()()xxyy33．12120xxyy4．121212122222xxyyxyxy重点：向量的数量积、模、夹角.难点：数量积的综合应用.易错：对向量的夹角、向量共线等理解不正确导致错误．1.重点——平面向量数量积的概念下列判断：①220ab，则0ab；②已知,,abc是三个非零向量，若0ab，则||||acbc；③,ab共线||||abab；④||||abab；⑤3||aaaa；⑥非零向量,ab满足：0ab，则a与b的夹角为锐角；⑦若,ab的夹角为，则||cosb表示向量b在向量a方向上的投影长.其中正确的是.【答案】①②【解析】由于220,0ab,所以若220ab,则0ab,故①正确；若0ab，则a=b,又,,abc是三个非零向量，所以acbc,所以||||acbc,②正确；,ab共线||||abab,所以③错;对于④，应有||||abab，所以④错;对于⑤,应该...