2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，设AB＝a，BC＝b，且|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－1，则|AC|＝()A．1B.C.D.解析：因为|AC|＝|AB＋BC|，所以|AC|＝＝＝.答案：C2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.答案：A3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为()A.B.C.D.解析：|a－b|＝＝＝，设向量a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.答案：A4.(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为()A.B.C.D．3答案：A5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2B．4C．6D．12解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，所以|a|2－2|a|－24＝0，所以|a|＝6.答案：C二、填空题6．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝，D是BC的中点，则BA在CD方向上的正射影数量是________．解析：如图所示，作向量BE＝CD，则BA与CD的夹角为∠ABE＝π－＝，所以BA在CD方向上的正射影的数量为|BA|·cos＝2×＝－.答案：－7．如图，在四边形ABCD中，|AC|＝4，BA·BC＝12，E为AC的中点，若BE＝2ED，则DA·DC＝________．解析：因为|AC|＝4，E是AC的中点，所以AE＝CE＝2.BA·BC＝(BE＋EA)·(BE＋EC)＝BE2－AE2＝BE2－22＝12⇒BE2＝16⇒DE2＝4，所以DA·DC＝(DE＋EA)·(DE＋EC)＝DE2－AE2＝4－4＝0.答案：08．(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，E，F是y轴上的两个动点，且|EF|＝2，则AE·BF的最小值为________．答案：－3三、解答题9．(1)若|a|＝4，a·b＝6，求b在a方向上的投影；(2)已知|a|＝6，e为单位向量，当它们之间的夹角θ分别等于60°，90°，120°时，求出a在e方向上的投影．解：(1)设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a||b|cosθ＝6，且|a|＝4，所以4|b|cosθ＝6，所以b在a方向上的投影为|b|cosθ＝.(2)a在e方向上的投影为|a|cosθ.当θ＝60°时，a在e方向上的投影为|a|cos60°＝3；当θ＝90°时，a在e方向上的投影为|a|cos90°＝0；当θ＝120°时，a在e方向上的投影为|a|cos120°＝－3.10．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝.(1)求|a＋3b|的值；(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．解：(1)由|3a－b|＝，得(3a－b)2＝5，所以9a2－6a·b＋b2＝5.因为a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，所以9－6a·b＋1＝5.所以a·b＝.所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×＋9×1＝15.所以|a＋3b|＝.(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ.因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝3×1＋8×－3×1＝.所以cosθ＝＝＝.因为0°≤θ≤180°，所以sinθ＝＝＝.所以3a－b与a＋3b夹角的正弦值为.B级能力提升1．点O是△ABC所在平面上一点，且满足OA·OB＝OB·OC＝OA·OC，则点O是△ABC的()A．重心B．垂心C．内心D．外心解析：因为OA·OB＝OB·OC，所以OB·(OA－OC)＝0，即OB·CA＝0,则OB⊥CA.同理OA⊥BC，OC⊥AB.所以O是△ABC的垂心．答案：B2．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A．[－1，＋1]B．[－1，＋2]C．[1，＋1]D．[1，＋2]解析：因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.又|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，所以2c·(a＋b)＝c2＋1.因为|a|＝|b|＝1，且a·b＝0，所以|a＋b|＝.因为|c－a－b|＝|c－(a＋b)|＝1，所以c2＋1＝2|c|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．又－1≤cosθ≤1，所以0
