2.4平面向量的数量积1自我小测1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为30°，则a·(a－2b)＝()A．2－2B．4－2C．－4D．－22．已知|a|＝2，|b|＝1，|a＋2b|＝2，则a与b的夹角为()A.B.C.D.3．已知|a|＝3，(2a＋b)⊥a，则b在a方向上的投影为()A．－18B．－6C．2D．64．设a，b，c是三个向量，有下列命题：①若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c；②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；③a·0＝0；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于()A．－25B．－20C．－15D．－106．已知向量a，b，且|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝________.7．设e1，e2是两个单位向量，若(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－，则e1与e2的夹角为________．8．在正三角形ABC中，D是边BC上的点．若AB＝3，BD＝1，则·＝________.9．已知向量a，b的长度|a|＝4，|b|＝2.(1)若a，b的夹角为120°，求|3a－4b|；(2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ.10．已知向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．参考答案1.解析：a·(a－2b)＝a2－2a·b＝|a|2－2|a||b|cos30°＝4－2×2××＝4－6＝－2.答案：D2.解析：∵|a＋2b|＝2，∴(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝12.∵|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝1.设a与b的夹角为θ，则|a|·|b|cosθ＝2cosθ＝1，∴cosθ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.答案：B3.解析：∵(2a＋b)⊥a，∴(2a＋b)·a＝0，∴2a2＋a·b＝0，∴a·b＝－2a2＝－18.∴b在a方向上的投影为＝＝－6.答案：B4.解析：①中，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0，又a≠0，则b＝c或a⊥(b－c)，即①不正确；②中，a·b＝0⇔a⊥b或a＝0或b＝0，即②不正确；③中，a·0＝0，即③不正确；④中，左边＝9a2－6a·b＋6b·a－4b2＝9|a|2－4|b|2＝右边，即④正确．答案：A5.解析：由已知可得△ABC为直角三角形，则与的夹角为，则·＝0，∴·＋·＋·＝·(＋)＝·＝－||2＝－25.答案：A6.解析：∵|a－b|＝1，∴a2－2a·b＋b2＝1.又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝.∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋1＝3，∴|a＋b|＝.答案：7.解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋4e1·e2＋3e1·e2－2e＝－6＋7e1·e2－2＝－，∴e1·e2＝.设e1，e2的夹角为θ，则|e1|·|e2|cosθ＝，∴cosθ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.答案：8.解析：·＝·(＋)＝2＋·＝9＋3×1×cos120°＝.答案：9.解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝4×2×＝－4.又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a－4b|＝4.(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2a·b＋22＝(2)2，∴a·b＝－4，∴cosθ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，∴θ＝.10.证明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|，∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.∴4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，∴a2＝b2.∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，∴(a＋b)⊥(a－b)．
