高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积例题与探究 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

2.4平面向量的数量积典题精讲例1若向量a、b、c满足a+b+c=0，且|a|=3,|b|=1,|c|=4.则a·b+b·c+a·c=_____________思路解析：本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件，先得出三个向量之间的两两夹角，再用数量积公式.方法一： a+b+c=0，∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0，∴2(a·b+b·c+a·c)=-(a2+b2+c2)=-(|a|2+|b|2+|c|2)=-(32+12+42)=-26，∴a·b+b·c+a·c=-13.方法二：根据已知条件可知|c|=|a|+|b|，c=-a-b，所以a与b同向，c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.答案：-13绿色通道：方法一是将“（a+b）2=a2+2a·b＋b2”推广到(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c予以解答.变式训练已知|a|=5,|b|=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直?思路分析：（a+mb）⊥（a-mb）(a+mb)·(a-mb)=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口.解：若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)·(a-mb)=0.∴a2-m2b2=0. |a|=5,|b|=12，∴a2=25,b2=144.∴25-144m2=0.∴m=±.∴当且仅当m=±时，向量a+mb与a-mb互相垂直.例2(福建高考卷，理11)已知||=1,||=,·=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°.设=m+n(m、n∈R)，则等于（）A.B.3C.D.思路分析：本题可以利用向量的加法、实数与向量的积的坐标运算、向量数量积来解.深刻理解向量的运算，做到灵活运用，使解题简便.方法一：以直线OA、OB分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(1,0),B(0,).设=λ(cos30°,sin30°)=（λ,λ),另外=m+n=m(1,0)+n(0,),得(λ,λ)=(m,n)方法二：=(m+n)2=m2+n2=m2+3n2，∴||=.由已知得∠BOC=60°，在等式=m+n(m、n∈R)两端同乘以，得·=m，∴m=||·||cos30°=m2=9n2.由题设知m＞0,n＞0,所以=3.答案：B黑色陷阱：对向量的坐标运算或向量数量积的运算不熟练，易导致难寻问题的切入口；有关向量的运算失误也易导致解答失误.变式训练（2006福建高考卷，文9）已知向量a与b的夹角为120°，|a|=3,|a+b|=,则|b|等于（）A.5B.4C.3D.1思路解析：向量a与b的夹角为120°，|a|=3,|a+b|=,a·b=|a|·|b|·cos120°=-|b|，|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2，∴13=9-3|b|+|b|2，则|b|=-1(舍去)或|b|=4.答案：B例3（福建高考卷，理12）对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题：（1）若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||;(2)在△ABC中，若∠C=90°,则||AC||2+||CB||2=||AB||2;(3)在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||.其中说法正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3思路解析：在坐标平面上取几个具体的符合条件的点并写出其坐标，进行观察、比较、分析、综合，不难确定命题的真假.不妨取直角坐标系中x非负半轴上的三点A(0,0),C(c,0),B(b,0),0＜c＜b,由题设，可得||AC||+||CB||=c+(b-c)=b=||AB||;另外在△ABC中，若∠C=90°,取C(0,0),B(1,0),A(0,2),则||AC||=2,||BC||=1,||AB||=3,但||AC||2+||CB||2≠||AB||2，且||AC||+||CB||=||AB||.所以(2)与(3)都不正确.答案：B黑色陷阱：对题设理解不够准确，易导致运算（操作）上的失误.对平面上两点之间的距离的全新定义，易引起考生理解上的困难，这时更需要独立思考与一定的创新意识.变式训练（2006陕西高考卷，理9）已知非零向量与满足()·=0且=,则△ABC为（）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形思路解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC.又cosA==，∴∠A=，所以△ABC为等边三角形.答案：D问题探究问题1任给8个非零实数a1,a2，…，a8,试探究下列六个数a1a3+a2a4,a1a5+a2a6,a1a7+a2a8,a3a5+a4a6,a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中，至少有一个是非负的.导思：观察六个数有共同的形式且与向量的数量积有关，思考时可借助向量作解题尝试，本题通过构造四个向量，然后利用向量之间的位置关系，运用向量的数量积坐标运算解决问题.探究：在直角坐标系xOy中，构造向量、、、，它们的坐标分别为(a1,a2)、(a3,a4)、(a5,a6)、(a7,a8).显然，平面上四个向量两两所成的角中至少有一个不超过90°，不妨设和的夹角不大于90°，则cos〈,〉=≥0,∴...