高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积自主训练 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

2.4平面向量的数量积自主广场我夯基我达标1．已知平面上直线l的方向向量e=(-,)，点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O1、A1，则=λe，其中λ等于（）A.B.-C.2D.-2思路解析：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e过原点.故与e方向相反.排除A、C，且知A坐标为（），∴λ=-2.答案：D2．若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=，则b等于（）A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)思路解析：由题意b与a共线，再结合|b|=，列出关于b的坐标的方程，即可解出.方法一：设b=λ(-1,2)，且λ＞0，有(-λ)2+(2λ)2=()2b=(-3，6).方法二:由题意可知，向量a，b共线且方向相反.故可由方向相反排除B、C；由共线可知b=-3a.答案：A3．已知向量a=(cosθ,sinθ)，向量b=(,-1)，则|2a-b|的最大值和最小值分别是（）A.4,0B.4,2C.16，0D.4，0思路解析：列出关于模的表达式，考查得到的函数即可得到答案.a·b=2sin(-θ)，|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=8-8sin(-θ)，∴|2a-b|的最大值为4，最小值为0.答案：D4．在△ABC中，∠A=90°，AB=(k,1),AC=(2,3)，则k的值是______________.思路解析：由AB与AC垂直，列出关于k的方程，解方程即可得到答案.∵∠A=90°，∴⊥.∴·=2k+3=0.∴k=-.答案：-5．向量|a|=9,|b|=12,则|a+b|的最大值和最小值分别为_________________.思路解析：由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|可得结果.答案：21,36.给出下列说法：(1)在△ABC中，若·＜0，则△ABC是锐角三角形；(2)在△ABC中，若·＞0，则△ABC是钝角三角形；(3)△ABC是直角三角形·=0；(4)△ABC是斜三角形的必要不充分条件是·≠0.其中，正确的序号是_________________.思路解析：利用数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角.（1）∵·＜0，∴·=-·＞0，∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.所以推不出△ABC是锐角三角形.故(1)是错误的.（2）∵·＞0，∴·=-·＜0.∠B是钝角，因而△ABC是钝角三角形.故(2)是正确的.(3)△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B、∠C.而·=0仅能保证∠B是直角.故(3)是错误的.（4）一方面，当△ABC是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故·≠0；另一方面，由·≠0只能得出∠B不是直角，但∠A或∠C中可能有一个直角.故(4)是正确的.答案：②④我综合我发展7.在△ABC中，=(2,3),=(1,k)，且△ABC中的一个内角为直角，求k的值.思路分析：注意到△ABC中的哪一个内角为直角不明确，因此要分类讨论，这是第4题的一个延伸.解：(1)当∠A=90°时，·=0.所以2×1+3k=0，即k=-.(2)当∠B=90°时，BC=-=(1-2,k-3),·=0.所以2×(-1)+3(k-3)=0,k=(3)当∠C=90°时，·=0.所以-1+k(k-3)=0,k2-3k-1=0,k=.故当k=-或k=或k=时，△ABC为直角三角形.8.设a与b是两个互相垂直的单位向量，问当k为整数时，向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否为60°，证明你的结论.思路分析：可以设夹角为60°，然后利用夹角公式求k，若有整数解，则求出，若没有，则不能.解：设向量m·n夹角为60°，∵|m|2=|ka+b|2=k2+1,|n|2=|a+kb|2=k2+1,m·n=(ka+b)·(a+kb)=2k,∴2k=·cos60°,即4k=k2+1.解得k=2±，这与k为整数矛盾.∴m、n的夹角不能为60°.9.求函数y=的最大值.思路分析：这类题一般方法无法求解，可联想到两点间距离公式.解：如上图，设A(-2,3),B(1,2),P(x,0)，则||=,||=,∴y的最大值即为||-||的最大值.由图可知当A、B、P三点共线时||-||有最大值||，||=，∴ymax=.10.求证：x1x2+y1y2≤思路分析：若令a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，可联想到x1x2+y1y2=a·b,=|a|，=|b|.由此入手问题可得证.证明：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a、b的夹角为θ，则=|a|，=|b|,x1x2+y1y2=a·b.又∵a·b=|a||b|cosθ≤|a||b|=,所以x1x2+y1y2≤·.