2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义选题明细表知识点、方法题号向量的数量积运算1,3,13利用数量积解决垂直问题5,7,10与向量模有关的问题4,8,11,12与向量夹角有关的问题2,6,9基础巩固1.下列叙述正确的个数是(C)(1)若k∈R,且kb=0,则k=0或b=0.(2)若a·b=0,则a=0或b=0.(3)若不平行的两个非零向量a,b,满足|a|=|b|,则(a-b)(a+b)=0.(4)若a,b平行,则a·b=|a||b|.(A)0(B)1(C)2(D)3解析:因为a·b=|a||b|·cosθ(θ为向量a与b的夹角)若a·b=0,则有|a|=0或|b|=0或cosθ=0,即a=0或b=0或a⊥b,故(2)错误;又因为a∥b时,a与b夹角可能为0或π,所以a·b=|a|·|b|或-|a|·|b|,故(4)错;只有(1)(3)正确.2.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与b的夹角θ为(B)(A)45°(B)135°(C)120°(D)150°解析:cosθ===-,又θ∈[0°,180°],所以θ=135°.3.已知两个不共线的单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列结论不正确的是(B)(A)e1在e2方向上的投影为cosθ(B)e1·e2=1(C)=(D)(e1+e2)⊥(e1-e2)解析:由于e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ,当θ=0时,有e1·e2=1,否则e1·e2≠1.故B不正确.4.(2018·宣威市期中)已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则a·(a-2b)等于(D)(A)-1(B)1(C)-3(D)3解析:a2=1,b2=4,a·b=1×2×cos120°=-1,则a·(a-2b)=a2-2a·b=1-2×(-1)=3.故选D.5.(2018·鹰潭市期末)已知|a|=3,|b|=4,且(a+kb)⊥(a-kb),则k等于(B)(A)±(B)±(C)±(D)±解析:因为(a+kb)⊥(a-kb),所以(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,所以9-16k2=0,解得k=±.故选B.6.(2018·宜昌市期中)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a·b=-,则a与b的夹角为.解析:设a与b的夹角为θ,θ∈[0,2π],因为向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a·b=-,所以cosθ===-,所以θ=,答案:7.已知非零向量a,b,满足a⊥b,且a+2b与a-2b的夹角为120°,则=.解析:(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2,因为a⊥b,所以|a+2b|=,|a-2b|=.所以cos120°====-.所以=.所以=.答案:8.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.解:(1)a·b=|a||b|cos120°=4×2×(-)=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,所以|3a-4b|=4.(2)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,所以a·b=-4,所以cosθ===-.又θ∈[0,π],所以θ=.能力提升9.(2019·南阳市月考)两个非零向量a,b的夹角为θ,则当a+tb(t∈R)的模取最小值时,t的值是(C)(A)|a|·|b|·cosθ(B)-|a|·|b|·cosθ(C)-cosθ(D)-cosθ解析:两个非零向量a,b的夹角为θ,|a+tb|==,被开方数是关于t的二次函数,且该二次函数开口向上,对称轴为t=-cosθ,故当t=-cosθ时,|a+tb|取得最小值.10.点O是△ABC所在平面上一点,且满足·=·=·,则点O是△ABC的(B)(A)重心(B)垂心(C)内心(D)外心解析:因为·=·,所以·(-)=0,即·=0,则⊥.同理⊥,⊥.所以O是△ABC的垂心.11.(2018·运城市期中)若向量a,b,c两两所成的角相等,且|a|=1,|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=.解析:a,b,c两两所成的角相等,故每两个向量成的角都等于120°,或都等于0°,再由|a|=1,|b|=1,|c|=3解题,①若平面向量a,b,c两两所成的角相等,且都等于120°,所以a·b=1×1×cos120°=-,a·c=1×3×cos120°=-,b·c=1×3×cos120°=-.|a+b+c|2=1+1+9-1-3-3=4,所以|a+b+c|=2.②平面向量a,b,c两两所成的角相等,且都等于0°,则a·b=1×1=1,b·c=1×3=3,a·c=1×3=3.|a+b+c|2=1+1+9+2+6+6=25,|a+b+c|=5;综上可得,则|a+b+c|=2或5.答案:2或512.已知a,b是两个非零向量,当a+tb(t∈R)的模取得最小值时,(1)求t的值(用a,b表示);(2)求证:b与a+tb垂直.(1)解:|a+tb|2=a2+t2b2+2ta·b=b2(t+)2+a2-.当t=-时,|a+tb|取最小值.(2)证明:(a+tb)·b=a·b+tb2=a·b-×b2=0,所以a+tb与b垂直.探究创新13.(2018·榆林市一模)如图,在△ABC中,已知点D,E分别在边AB,BC上,且AB=3AD,BC=2BE.(1)用向量,表示.(2)设AB=6,AC=4,A=60°,求线段DE的长.解:(1)△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,且AB=3AD,BC=2BE;所以=,==(-),所以=+=+(-)=+.(2)AB=6,AC=4,A=60°,则=+2××·+=×62+×6×4×cos60°+×42=7,所以||=,即线段DE的长为.
