平面向量的数量积分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为135°,则m·n=(C)A.12B.12C.-12D.-122.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与b的夹角θ为(B)A.45°B.135°C.120°D.150°3.已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且a∥b,则|a-b|=(B)A.5B.3C.2D.24.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=5,则|3a-b|等于(A)A.7B.6C.5D.45.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于(A)A.B.-C.±D.16.已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则△ABC的形状为(C)A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.以上均不正确7.已知|a|=2,|b|=10,
=120°,则b在a方向上的投影是-5,a在b方向上的投影是-1.8.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,i,j为相互垂直的单位向量,那么a·b=-63.9.已知=(-2,1),=(0,2),O为坐标原点,且∥,⊥,则点C的坐标是(-2,6).10.已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是.11.已知非零向量a,b满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=,且a·b=.(1)求向量a,b的夹角.(2)求|a-b|.【解析】(1)设向量a,b的夹角为θ,因为(a-b)·(a+b)=,所以a2-b2=,即|a|2-|b|2=;又|a|=1,所以|b|=.因为a·b=,所以|a|·|b|cosθ=,所以cosθ=.所以向量a,b的夹角为45°.(2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=,所以|a-b|=.12.已知向量a=(1,2),b=(x,1),(1)当x为何值时,使(a+2b)∥(2a-b)?(2)当x为何值时,使(a+2b)⊥(2a-b)?【解析】(1)由a=(1,2),b=(x,1),得a+2b=(2x+1,4),2a-b=(2-x,3).因为(a+2b)∥(2a-b),所以3(2x+1)-4(2-x)=0,解得x=.(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(2x+1)(2-x)+12=0,解得x=-2或x=.B组提升练(建议用时20分钟)13.定义:|a×b|=|a|·|b|·sinθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于(B)A.-8B.8C.-8或8D.614.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则等于(B)A.150°B.120°C.60°D.30°15.如图所示,已知点A(1,1),单位圆上半部分上的点B满足·=0,则向量的坐标为.16.如图所示,在△ABC中,∠C=90°且AC=BC=4,点M满足=3,则·=4.17.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,求·(+)的最小值.【解析】设=t,0≤t≤1,则+=2=2t,=+=t-=(t-1),所以·(+)=2(t-1)t=8(t-1)t=8t2-8t=8-2.所以当t=时,·(+)有最小值-2.18.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证:(a-b)⊥c.(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.【解析】(1)因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间的夹角均为120°,所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=0.所以(a-b)⊥c.(2)因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)2>1,即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,所以k2+1+1+2kcos120°+2kcos120°+2cos120°>1.所以k2-2k>0,解得k<0或k>2.所以实数k的取值范围为k<0或k>2.C组培优练(建议用时15分钟)19.在四边形ABCD中,已知AB=9,BC=6,=2.(1)若四边形ABCD是矩形,求·的值.(2)若四边形ABCD是平行四边形,且·=6,求与夹角的余弦值.【解析】(1)因为四边形ABCD是矩形,所以·=0.由=2,得=,==-.所以·=(+)·(+)=·=-·-=36-×81=18.(2)由题意,=+=+=+,=+=+=-,所以·=·=-·-=36-·-18=18-·.又·=6,所以18-·=6,所以·=36.设与的夹角为θ,又·=||·||cosθ=9×6×cosθ=54cosθ,所以54cosθ=36,即cosθ=.所以与夹角的余弦值为.20.已知=(4,0),=(2,2),=(1-λ)+λ(λ2≠λ).(1)求·及在上的投影.(2)证明A,B,C三点共线,并在=时,求λ的值.(3)求||的最小值.【解析】(1)·=8,设与的夹角为θ,则cosθ==,所以在上的投影为||cosθ=4×=2.(2)=-=(-2,2),=-=(1-λ)-(1-λ)=(λ-1),因为与有公共点B,所以A,B,C三点共线.当=时,λ-1=1,所以λ=2.(3)||2=(1-λ)2+2λ(1-λ)·+λ2=16λ2-16λ+16=16+12.所以当λ=时,||取到最小值2.
