2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课后篇巩固探究1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于()A.9B.0C.-3D.-9解析由已知得p·q=3×3×cos180°=-9.答案D2.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则|a+b|=()A.B.C.13D.21解析由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.将|a|=4,|b|=3代入上式,求得a·b=-6.|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=13,所以|a+b|=.答案A3.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析∵|a+2b|=2,∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则|a||b|cosθ=2cosθ=1,∴cosθ=.又0≤θ≤π,∴θ=.答案B4.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则b在a方向上的投影为()A.3B.-3C.-D.解析由a⊥(a+b),得a·(a+b)=0,即|a|2+a·b=0,于是a·b=-9,因此b在a方向上的投影为=-3.答案B5.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若,则AB的长为()A.B.1C.D.2解析设AB的长为a,因为,所以·()=||2+=1+1··cos120°=,解得a=2.答案D6.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为()A.B.C.D.解析设a+b与a的夹角为θ.由|a+b|=|a-b|可得a·b=0,由|a+b|=2|a|可得|b|=|a|,于是cosθ=,故所求夹角为.答案B7.已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数为()①|a·b|=|a|·|b|⇔a∥b;②a,b反向⇔a·b=-|a|·|b|;③a⊥b⇔|a+b|=|a-b|;④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|.A.1B.2C.3D.4解析需对以上四个命题逐一判断,依据有两条:一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.①∵a·b=|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角),∴由|a·b|=|a|·|b|及a,b为非零向量可得|cosθ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故命题①是真命题.②若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cosπ=-|a|·|b|且以上各步均可逆.故命题②是真命题.③当a⊥b时,将向量a,b的起点移至同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故命题③是真命题.④当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题④是假命题.答案C8.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析|2a-b|=.∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.∴|2a-b|=0或4.答案0或49.正三角形ABC边长为2,设=2=3,则=.解析)·()=)·==×2-×4+×4-2=-.答案-10.已知|a|=2,向量a在向量b上的投影为,则a与b的夹角为.解析记向量a与向量b的夹角为θ,则a在b上的投影为|a|cosθ=2cosθ.因为a在b上的投影为,所以cosθ=.因为θ∈[0,π],所以θ=.答案11.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则的值是.解析(方法一)=||·||·cos(180°-∠B)=-||·||·cos∠B=-||·||·=-||2=-1.(方法二)||=1,即为单位向量,=-=-||||cos∠ABC,而||·cos∠ABC=||,所以=-||2=-1.答案-112.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是.解析由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).答案(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)13.导学号68254084已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.证明(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=1×1×-1×1×=0,故(a-b)⊥c.14.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状?解∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.②①-②,得|b|2=|d|2,①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.∵,∴a=-c.又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0.∴a·b=0,∴.故四边形ABCD为正方形.15.导学号68254085如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解(1)=a-b,由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.∴b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos45°=1,则=a·[a+(-1)b]=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.
