2.4向量的应用课时过关·能力提升1.若直线l与向量a=(2,-2)平行,则其倾斜角等于()A.45°B.135°C.60°D.120°解析:由已知得l的斜率k==-1,而tan135°=-1,所以l的倾斜角是135°.答案:B2.在△ABC中,有下列命题:①;②=0;③若()·()=0,则△ABC为等腰三角形;④若>0,则△ABC为锐角三角形.上述命题正确的是()A.①②B.①④C.②③D.②③④解析:对于①,应有,故①错误;对于④,由>0,得||||cosA>0,∴cosA>0.∴A为锐角.但B,C是否为锐角,不能确定,故④错误;②③是正确的.答案:C3.一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8km,则河水的流速为()A.2km/hB.2km/hC.km/hD.3km/h答案:A4.已知△ABC的三个顶点A,B,C和平面内一点P,且,则点P与△ABC的位置关系是()A.点P在△ABC内部B.点P在△ABC外部C.点P在AB边上或其延长线上D.点P在AC边上解析:∵,∴,即=2.∴A,C,P三点共线,即点P在AC边上.答案:D5.在四边形ABCD中,A(1,1),B,C(2,3),D,则该四边形的面积为()A.B.2C.5D.10解析:因为=(1,2),=(-4,2),所以=1×(-4)+2×2=0,故,所以四边形ABCD的面积为=5,故选C.答案:C6.已知向量=(4,-5),=(-7,9)分别表示两个力f1,f2,则f1+f2的大小为.解析:f1+f2==(-3,4),∴|f1+f2|==5.答案:57.在△ABC中,A(-1,2),B(3,1),C(2,-3),则AC边上的高所在的直线方程为.解析:与AC边平行的向量为=(3,-5).设P(x,y)是所求直线上任意一点,则=(x-3,y-1),所以AC边上的高所在的直线方程为·(x-3,y-1)=0,即3x-5y-4=0.答案:3x-5y-4=0★8.若正方形ABCD的边长为1,点P在线段AC上运动,则·()的最大值是.解析:如图,以A为原点建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),D(0,1),可设P(x,x)(0≤x≤1).则有=(x,x),=(1-x,-x),=(-x,1-x),从而·()=-4x2+2x=-4,故当x=时,·()取最大值.答案:9.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).(1)若c=5,求sinA的值;(2)若A为钝角,求c的取值范围.解:(1)=(-3,-4),=(c-3,-4).若c=5,则=(2,-4),故cosA=cos<>=,所以sinA=.(2)若A为钝角,则即解得c>,故c的取值范围是.★10.在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,用向量法证明CD=AB.分析找一组基底,分别表示,转化为证明||=|.证明如图,设=a,=b,则a与b的夹角为90°,故a·b=0.∵=b-a,(a+b),∴||=|a+b|==,||=|b-a|==.∴||=|.∴CD=AB.
