课时分层作业(二十)(建议用时：60分钟)一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)B[只有选项B中两个向量不共线可以表示向量a.]2．若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向相同，则x的值为()A.B．－C．2D．－2A[由a∥b得－x2＋2＝0，得x＝±.当x＝－时，a与b方向相反．]3．已知a＝(sinα，1)，b＝(cosα，2)，若b∥a，则tanα＝()A.B．2C．－D．－2A[∵b∥a，∴2sinα－cosα＝0，即tanα＝.]4．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(k,2)．若(3a－b)∥c，则实数k的值为()A．－8B．－6C．－1D．6B[由题意得3a－b＝(3，－1)，因为(3a－b)∥c，所以6＋k＝0，k＝－6.故选B.]5．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于()A．30°B．45°C．60°D．75°B[由a∥b，可得(1－sinθ)(1＋sinθ)－＝0，即cosθ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°.]二、填空题6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且AB与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.[由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB＝(4,6)．又AB与a＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，解得λ＝.]7．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直线AB上，则x＝________.23[AB＝(x＋1，－6)，AC＝(4，－1)，∵AB∥AC，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.]8．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．或[由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则AB＝(x－1，y－2)＝b.由⇒又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B或.]三、解答题9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)求a＋3b的坐标．(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？[解](1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(1,0)＋(6,3)＝(7,3)．(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，解得k＝－，所以ka－b＝，a＋3b＝(7,3)，即k＝－时，ka－b与a＋3b平行，方向相反．10．已知A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且AE＝AC，BF＝BC，求证：EF∥AB.[证明]设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有AC＝(2,2)，BC＝(－2,3)，AB＝(4，－1)．因为AE＝AC，所以AE＝，所以(x1＋1，y1)＝，故E.因为BF＝BC，所以BF＝，所以(x2－3，y2＋1)＝，故F.所以EF＝.又因为4×－×(－1)＝0，所以EF∥AB.1．已知向量a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，c＝(x,3)，若∥c，则x＝()A．－1B．－2C．－3D．－4C[向量a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，c＝(x,3)，则b＝a－(a－b)＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴(2a＋b)＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)，∵(2a＋b)∥c，∴－3－x＝0，∴x＝－3，故选C.]2．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)，若p∥q，则角C为()A.B.C.D.C[因为p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)，且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b·b＝0，即c2＝a2＋b2，所以角C为.故选C.]3．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)D[设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，则AB＝DC，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，则AC＝BD，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，则AC＝DB，∴D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．]4．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．m≠[AB＝OB－OA＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，AC＝OC－OA＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m,1－m)，由于点A，B，C能构成三角形，则AC与AB不共线，则3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠.]5．如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC.[证明]如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.
