2.3.4平面向量共线的坐标表示(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为()A．B．2C．－D．－2【解析】ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，由ma＋4b与a－2b共线，有－(2m－4)＝4(3m＋8)，解得m＝－2，故选D．【答案】D2．已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为()【导学号：00680053】A．－13B．9C．－9D．13【解析】设C(6，y)，∵AB∥AC，又AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)，∴－8×(y＋6)－3×8＝0，∴y＝－9.【答案】C3．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于()A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】由a∥b，可得(1－sinθ)(1＋sinθ)－＝0，即cosθ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°.【答案】B4．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b＝()A．(4,0)B．(0,4)C．(4，－8)D．(－4,8)【解析】由a∥b知4＋2m＝0，∴m＝－2,2a－b＝(2，－4)－(－2,4)＝(4，－8)．故选C．【答案】C5．如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于()A．±2B．2C．－2D．0【解析】由a，b共线得k2＝4，又两个向量的方向相反，故k＝－2.故选C．【答案】C二、填空题6．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．【解析】由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则AB＝(x－1，y－2)＝b.由⇒又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B或.【答案】或7．向量a＝(1，－2)，向量b与a共线，且|b|＝4|a|，则b＝________.【解析】因为b∥a，令b＝λa＝(λ，－2λ)，又|b|＝4|a|，所以(λ)2＋(－2λ)2＝16(1＋4)，故有λ2＝16，解得λ＝±4，∴b＝(4，－8)或(－4,8)．【答案】(4，－8)或(－4,8)三、解答题8．已知A，B，C，D四点的坐标分别为A(0，－1)，B(3,2)，C(1,3)，D(－1,1)，证明：四边形ABCD是梯形.【导学号：70512034】【证明】∵AB＝(3,3)，CD＝(－2，－2)，∴AB＝－CD，∴AB∥CD，AB∥CD．又AD＝(－1,2)，BC＝(－2,1)，且－1×1－2×(－2)＝3≠0，∴AD与BC不平行，即AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形．9．已知向量AB＝(4,3)，AD＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足点P，B，D三点共线，求y的值．【解】(1)设B(x1，y1)，∵AB＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，∴∴∴B(3,1)．同理可得D(－4，－3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2＝＝－，y2＝＝－1，∴M.(2)PB＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，BD＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．∵P，B，D三点共线，∴PB∥BD，∴－4＋7(1－y)＝0，∴y＝.[能力提升]1．若AB＝i＋2j，DC＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).AB与DC共线，则x，y的值可能分别为()A．1,2B．2,2C．3,2D．2,4【解析】因为AB＝(1,2)，DC＝(3－x,4－y)，又AB∥DC，所以4－y－2×(3－x)＝0，即2x－y－2＝0，验知B合适．【答案】B2．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．【解】以A为坐标原点，AB为x轴建立直角坐标系，如图所示，∴A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，F(6,4)，E(3,0)，设P(x，y)，AP＝(x，y)，AF＝(6,4)，EP＝(x－3，y)，EC＝(3,6)．由点A，P，F和点C，P，E分别共线，得∴∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB＝36－×3×3－×3×6＝.
