2.3.4平面向量共线的坐标表示一、A组1.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是()A.a-c与b共线B.b+c与a共线C.a与b-c共线D.a+b与c共线解析:∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).∴b-c=a.∴a与b-c共线.答案:C2.(2016·河南郑州高一期末)平面向量a=(1,-2),b=(-2,x),若a∥b,则x等于()A.4B.-4C.-1D.2解析:∵平面向量a=(1,-2),b=(-2,x),且a∥b,∴1·x-(-2)·(-2)=0,解得x=4.故选A.答案:A3.如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且方向相反,那么k的值为()A.-3B.0C.-D.-2解析:∵向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且方向相反,∴(k,1)=λ(6,k+1),λ<0.∴k=6λ,1=(k+1)λ,解得k=-3.故选A.答案:A5.导学号08720064已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件是()A.m≠-2B.m≠C.m≠1D.m≠-1解析:若点A,B,C能构成三角形,则A,B,C三点不共线,即不共线,又=(1,2),=(m,m+1),∴m+1-2m≠0,∴m≠1.答案:C6.已知A(2,3),B(6,-3),P是线段AB上靠近A的一个三等分点,则点P的坐标是.解析:设P(x,y),由题意得,即(x-2,y-3)=(4,-6),解方程组答案:7.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为.解析:设点B的坐标为(x,y),则b==(x-1,y-2).∵a∥b,∴-2(y-2)-3(x-1)=0,即3x+2y-7=0.又点B在坐标轴上,∴当x=0时,y=;当y=0时,x=.∴点B的坐标为.答案:8.(2016·广东揭阳惠来一中检测)已知A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈.若,O为坐标原点,则角α的值是.解析:=(-3,3),=(cosα,sinα).∵,∴-3sinα-3cosα=0,∴tanα=-1.∵α∈,∴α=.答案:9.已知A,B,C,D四点的坐标分别为A(0,-1),B(3,2),C(1,3),D(-1,1),证明四边形ABCD是梯形.证明:∵=(3,3),=(-2,-2),∴=-,∴,AB∥CD.又=(-1,2),=(-2,1),且-1×1-2×(-2)=3≠0,∴不平行,即AD与BC不平行.∴四边形ABCD是梯形.10.已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标;(2)若点P(2,y)满足点P,B,D三点共线,求y的值.解:(1)设B(x1,y1),∵=(4,3),A(-1,-2),∴(x1+1,y1+2)=(4,3),∴∴B(3,1).同理可得D(-4,-3),设BD的中点M(x2,y2),则x2==-,y2==-1.∴M.(2)=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).∵P,B,D三点共线,∴.∴-4+7(1-y)=0.∴y=.二、B组1.已知e1=(1,0),e2=(0,1),a=2e1+e2,b=λe1-e2,当a∥b时,实数λ等于()A.-1B.0C.-D.-2解析:∵e1=(1,0),e2=(0,1),a=2e1+e2,b=λe1-e2,∴a=2(1,0)+(0,1)=(2,1),b=λ(1,0)-(0,1)=(λ,-1).∵a∥b,∴2×(-1)-1×λ=0,解得λ=-2.故选D.答案:D2.已知a=(-2,1-cosθ),b=,且a∥b,则锐角θ等于()A.45°B.30°C.60°D.30°或60°解析:由a∥b,得-2×=1-cos2θ=sin2θ,∵θ为锐角,∴sinθ=.∴θ=45°.答案:A3.已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相异三点A,B,C共线,则实数k等于()A.1B.1或-C.-D.-1或解析:=(1-k,2k-2),=(-k,-1-2k),由已知得,,即(1-k)(-1-2k)-(2k-2)·(-k)=0,解得k=1或-.当k=1时,=(1,2),=(1,2),即A,B两点相同,与已知矛盾.∴k=-.答案:C4.已知点A(,1),B(0,0),C(,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有=λ,则λ等于()A.2B.C.-3D.-解析:如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,∴|EC|=.∵=λ,λ<0,∴|λ|==3.∴λ=-3.答案:C5.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若a-2b与c共线,则k=.解析:∵a=(,1),b=(0,-1),∴a-2b=(,1)-(0,-2)=(,3).又c=(k,),且a-2b与c共线,∴3k=3.∴k=1.答案:16.已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=.解析:=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).因为A,B,C共线,所以共线,所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n,②解①②组成的方程组得所以m+n=9或.答案:9或7.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,已知两点F1(2,1),F2(-2,1),若点P满足=λ+(1-λ),λ∈R,则点P的轨迹方程是.解析:依题意,设=(x,y),则(x,y)=λ(2,1)+(1-λ)·(-2,1)=(4λ-2,1),所以x=4λ-2,y=1.也就是说点P的轨迹方程为直线y=1.答案:y=18.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量a=(1,-2),b=(3,4).(1)求向量3a+4b的坐标;(2)当实数k为何值时,ka-b与3a+4b共线.解:(1)向量a=(1,-2),b=(3,4),向量3a+4b=(3,-6)+(12,16)=(15,10).(2)ka-b=(k-3,-2k-4),3a+4b=(15,10).由ka-b与3a+4b共线,可得10k-30=-30k-60,解得k=-.9.导学号08720065已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),求:(1)3a+b-2c;(2)若a=mb+nc,求实数m,n的值;(3)当k为何实数时,a+kc与2b-a平行,平行时它们是同向还是反向?解:(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(0,6).(2)∵a=mb+nc,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).∴解得(3)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).∵(a+kc)∥(2b-a),∴2(3+4k)-(2+k)(-5)=0.∴k=-.
