2.3.3平面向量的坐标运算A级基础巩固一、选择题1．已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：由平面向量基本定理知①正确；若a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：A2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d的坐标为()A．(2，6)B．(－2，6)C．(2，－6)D．(－2，－6)解析：由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．答案：D3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.B.C.D.解析：AB＝(3，－4)，则与AB同方向的单位向量为＝(3，－4)＝.答案：A4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于()A．(1，－1)B．(－1，1)C．(－4，6)D．(4，－6)解析：因为4a，3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．答案：D5．设向量a＝(m，n)，b＝(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“⊗”为a⊗b＝(ms，nt)．若向量p＝(1，2)，p⊗q＝(－3，－4)，则向量q＝()A．(－3，2)B．(3，－2)C．(－2，－3)D．(－3，－2)解析：设向量q＝(x，y)，根据题意可得x＝－3，2y＝－4，解得x＝－3，y＝－2，即向量q＝(－3，－2)．答案：D二、填空题6．设向量a，b满足a＝(1，－1)，|b|＝|a|，且b与a的方向相反，则b的坐标为________．解析：因为向量a与b的方向相反，且|b|＝|a|，所以b＝－a＝－(1，－1)＝(－1，1)．答案：(－1，1)7．作用于原点的两个力F1＝(1，1)，F2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F3＝________．解析：因为F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－F1－F2＝－(1，1)－(2，3)＝(－3，－4)．答案：(－3，－4)8．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若AB＝3a，则点B的坐标为________．解析：OA＝(－1，－5)，AB＝3a＝(6，9)，故OB＝OA＋AB＝(5，4)，故点B的坐标为(5，4)．答案：(5，4)三、解答题9.在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则a1＝|a|cos45°＝2×＝.a2＝|a|sin45°＝2×＝，b1＝|b|cos120°＝3×＝－，b2＝|b|sin120°＝3×＝，c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.所以a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)．10．已知向量AB＝(4，3)，AD＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB＝λBD(λ∈R)，求λ与y的值．解：(1)设B(x1，y1)，因为AB＝(4，3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，所以所以所以B(3，1)．同理可得D(－4，－3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2＝＝－，y2＝＝－1，所以M.(2)由PB＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，BD＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，又PB＝λBD(λ∈R)，所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以所以B级能力提升1．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m⊗n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a⊗b，那么向量b等于()A.B.C.D.解析：设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a⊗b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y.解得x＝2，y＝，所以向量b＝.答案：A2．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4，3)，PQ＝(1，5)，则BC＝________．解析：PQ－PA＝AQ＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q是AC的中点，所以AQ＝QC，所以PC＝PQ＋QC＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP＝2PC，所以BC＝BP＋P...
