2.3.1平面向量基本定理【基础练习】1．(2019年浙江台州期末)已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，则下列各组中的a，b不能构成基底的是()A．a＝2e1，b＝－3e2B．a＝2e1＋2e2，b＝e1－e2C．a＝e1－2e2，b＝－2e1＋4e2D．a＝2e1＋e2，b＝e1＋2e2【答案】C【解析】不共线的两个向量可以构成基底．选项C中，b＝－2a，即a，b共线，故不能构成基底．故选C．2．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－4OB＋3OC＝0，则＝()A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】OA－4OB＋3OC＝(OA－OB)－3(OB－OC)＝BA－3CB＝0，∴AB＝3BC.∴＝3.3．在锐角△ABC中，关于向量夹角的说法，正确的是()A．AB与BC的夹角是锐角B．AC与AB的夹角是锐角C．AC与BC的夹角是钝角D．AC与CB的夹角是锐角【答案】B【解析】由向量夹角的定义可知，AB与AC的夹角为∠A，为锐角．4．已知OA＝a，OB＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示OD为()A．(4a＋5b)B．(9a＋7b)C．(2a＋b)D．(3a＋b)【答案】A【解析】∵AD＝AC＋CD＝AB＋CB＝AB＋AB＝AB，而AB＝b－a，∴AD＝b－a.∴OD＝OA＋AD＝a＋＝a＋b.5．(2019年黑龙江大庆期末)已知向量e1，e2不共线，a＝e1＋λe2，b＝3e1－(2－λ)e2，若a∥b，则λ＝________.【答案】－1【解析】由a∥b，可得存在实数k，使得b＝ka，即3e1－(2－λ)e2＝k(e1＋λe2)．又向量e1，e2不共线，所以k＝3，λk＝－2＋λ，解得λ＝－1.6．如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA交于E，设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC，DE.【解析】∵A是BC的中点，∴OA＝(OB＋OC)．∴OC＝2OA－OB＝2a－b.∴DC＝OC－OD＝2a－b－b＝2a－b.由于D，E，C三点共线，∴DE＝λ·DC＝λ＝2λa－λb.由于DE＝DO＋OE＝－OB＋μOA＝－b＋μa.∴2λa－λb＝－b＋μa，故有2λ＝μ，－λ＝－.解得λ＝，μ＝.∴DE＝a－b.7．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点且＝k(k≠1)．设AD＝e1，AB＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出向量DC，BC，MN在此基底下的分解式．【解析】如图所示，∵AB＝e2，＝k，∴DC＝kAB＝ke2.又AB＋BC＋CD＋DA＝0，∴BC＝－AB－CD－DA＝－AB＋DC＋AD＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.而MN＋NB＋BA＋AM＝0，∴MN＝－NB－BA－AM＝BN＋AB－AM＝BC＋e2－AD＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1＝e2.【能力提升】8．(2019年陕西咸阳模拟)已知G是△ABC的重心，若GC＝xAB＋yAC，x，y∈R，则x＋y＝()A．－1B．1C．D．－【答案】C【解析】如图，D为AB的中点，由G是△ABC的重心，可得CG＝CD＝CA＋CB，所以GC＝AC＋BC＝AC＋(AC－AB)＝－AB＋AC.由GC＝xAB＋yAC及平面向量基本定理，可得x＝－，y＝，则x＋y＝.故选C．9．(2019年安徽马鞍山模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F满足BE＝BC，CF＝CD，EF与AC交于点G，设AG＝λGC，则λ＝()A．B．C．D．【答案】C【解析】由E，G，F三点共线，得CG＝xCE＋(1－x)CF＝xCB＋(1－x)CD.由AG＝λGC，得CG＝CA＝(CB＋CD)．根据平面向量基本定理，可得x＝＝(1－x)，解得x＝，λ＝.故选C．10．(2019年陕西汉中模拟)已知P为△ABC所在平面内一点且满足AP＝λ(AB＋AC)，BP＝(1－2μ)BC(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.【答案】【解析】由AP＝λ(AB＋AC)，可得AB＋BP＝λ(AB＋AC)，则BP＝(λ－1)AB＋λAC.又BP＝(1－2μ)BC＝(1－2μ)(AC－AB)＝(2μ－1)AB＋(1－2μ)AC，由向量基本定理可得解得λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.11．如图，已知在梯形ABCD中，AB∥DC且AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设AD＝a，AB＝b，试用a，b为基底表示DC，BC，EF.【解析】∵AB∥DC且AB＝2CD，∴DC＝AB＝b.∴BC＝BA＋AD＋DC＝－b＋a＋b＝a－b.同理，EF＝EC＋CB＋BF＝DC－BC－AB＝b－－b＝b－a.
