平面向量基本定理一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·太原高一检测)下面说法中，正确的是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a=λe1+μe2成立的实数对一定是唯一的.A.②④B.②③④C.①③D.①③④【解析】选B.因为不共线的任意两个向量均可作为一组基底，故②③正确，①不正确，由平面向量基本定理知④正确.2.(2014·邢台高一检测)在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD，BC的中点，若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ的值为()A.B.2C.3D.1【解析】选A.设=a，=b，则=a+b，=b+a，又因为=b+a，所以=(+)，即λ=μ=，故λ+μ=.3.若向量a，b为两个非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，则向量a+b与a的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.作=a，=b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=a-b，=a+b，∠AOC为向量a与a+b的夹角.因为|a|=|b|=|a-b|，所以△OAB是等边三角形，平行四边形OACB是菱形，所以∠AOB=，∠AOC=∠AOB=.【举一反三】本题中“|a-b|”改为“|a+b|”，求a，b的夹角.【解析】作=a，=b，则=a+b，由|a|=|b|=|a+b|及向量三角形法则可知，表示向量a，b，a+b的有向线段可构成等边三角形△OAB(如图所示)，所以a，b的夹角为.4.在△ABC中，∠C=90°，BC=AB，则与的夹角是()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选C.如图，作向量=，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠C=90°，BC=AB，所以∠ABC=60°，所以∠BAD=120°.【误区警示】解答本题容易忽视向量夹角的定义要求两个向量共起点，导致误认为∠ABC是与的夹角的错误.5.(2014·宜春高一检测)如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为()A.1B.C.D.3【解析】选C.因为B，P，N三点共线，所以∥，设=λ，即-=λ(-)，所以=+①，又因为=，所以=4，所以=m+=m+②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：m=⇒.【拓展延伸】三点共线的两种常用方式：(1)若A，B，C三点共线，则存在实数λ，使得=λ.(2)若A，B，C三点共线，则存在实数α，β和点O，使得=α+β且α+β=1.6.(2013·大连高一检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，向量满足++=0，则与x轴正半轴夹角取值范围是()A.B.C.D.【解题指南】先由++=0推知向量+与反向，然后通过分析向量+与x轴正半轴的夹角推知向量与x轴正半轴的夹角.【解析】选B.因为++=0，所以+=-，如图1所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OAC1B，则+=，=-，固定的长度，的长度缩小，点C1向B靠近(图2)，固定的长度，的长度缩小，点C1向A靠近(图3).因为向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，所以与x轴正半轴夹角取值范围为，由与的方向相反知与x轴正半轴夹角取值范围为.二、填空题(每小题4分，共12分)7.设e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a=e1+λe2与向量b=-e1+2e2共线的条件是λ=.【解析】由于a，b共线，因此只需基底对应系数成比例即可，即=，所以λ=-2.答案：-28.(2014·徐州高一检测)设e1，e2是平面内一组基底，且a=e1+2e2，b=-e1+e2，则向量e1+e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1+e2=.【解题指南】设e1+e2=ma+nb(m，n∈R)，根据e1，e2不共线及平面向量基本定理求m，n.【解析】设e1+e2=ma+nb，因为a=e1+2e2，b=-e1+e2，所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2，因为e1，e2不共线，所以解得m=，n=-，故e1+e2=a-b.答案：a-b【变式训练】在如图所示的平行四边形ABCD中，=a，=b，AN=3NC，M为BC的中点，则=(用a，b表示).【解析】=+=-=b-=b-a.答案：b-a9.如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，F为AB上一点，且=4，若=x+y，则x=，y=.【解析】连接DE，因为=+=+=+×4=+2.所以x=2，y=1.答案：21三、解答题(每小题10分，共20分)10.如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且=，BN与CM相交于点E，设=a，=b，试用基底a，b表示向量.【解题指南】本题需不断地利用三点共线进行转化，最后通过利用基底表示任意一向量的唯一性，即若a=λ1e1+μ1e2且a=λ2e1+μ2e2，则构建方程组从而使...
