课时作业18平面向量基本定理——基础巩固类——一、选择题1．已知向量a与b的夹角为，则向量2a与－3b的夹角为(C)A.B.C.D.解析：∵a与2a同向，b与－3b反向，∴向量2a与－3b的夹角和a与b的夹角互补，∴向量2a与－3b的夹角为.2．在△ABC中，已知D为AC上一点，若AD＝2DC，则BD＝(D)A．－BC－BAB.BC＋BAC．－BC－BAD.BC＋BA解析：如图，BD＝BA＋AD＝BA＋AC＝BA＋(BC－BA)＝BC＋BA，故选D.3．已知e1，e2是平面α内两个不共线的向量，下列说法中正确的个数为(B)①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若平面向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．1B．2C．3D．4解析：根据平面向量基本定理，易知①④正确，②③错误．故选B.4．e1，e2为基底向量，已知向量AB＝e1－ke2(k∈R)，CB＝2e1－e2，CD＝3e1－3e2，若A、B、D三点共线，则k的值是(A)A．2B．－3C．－2D．3解析：若A、B、D三点共线，则AB∥BD，设AB＝tBD(t∈R)，由于BD＝BC＋CD＝e2－2e1＋3e1－3e2＝e1－2e2，所以e1－ke2＝t(e1－2e2)，又e1，e2不共线，所以t＝1,2t＝k，所以k＝2，故选A.5．已知非零向量OA，OB不共线，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB(λ∈R)，则x，y满足的关系是(A)A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：由PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)·OA－λOB.又2OP＝xOA＋yOB，∴消去λ得x＋y＝2.6．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点)，则AP＝(A)A．λ(AB＋AD)，λ∈(0,1)B．λ(AB＋BC)，λ∈(0，)C．λ(AB－AD)，λ∈(0,1)D．λ(AB－BC)，λ∈(0，)解析：如图所示，AC＝AB＋AD，又点P在AC上，∴AP与AC同向，且|AP|<|AC|，故AP＝λ(AB＋AD)，λ∈(0,1)．二、填空题7．设一直线上三点A，B，P满足AP＝λPB(λ≠±1)，O为平面内任意一点，则OP用OA，OB表示为OP＝.解析：∵OP＝OA＋λPB＝OA＋λ(OB－OP)＝OA＋λOB－λOP，∴(1＋λ)OP＝OA＋λOB，∴OP＝.8．已知向量a，b为平面内所有向量的一组基底，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则A，B，C，D四点中一定共线的三点是A，B，D.解析：BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB，所以A，B，D三点共线．9．在△ABC中，AB＝a，BC＝b，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，则用a，b表示向量AG＝a＋b.解析：依题意得，AG＝AD＝×(AB＋AC)＝AB＋(BC＋AB)＝AB＋BC＝a＋b.三、解答题10．设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使BM＝BC，CN＝CA，AP＝AB，若AB＝c，AC＝b，试用c，b作基底，将MN，NP，PM表示出来．解：如图，MN＝CN－CM＝－AC－CB＝－AC－(AB－AC)＝AC－AB＝b－c.NP＝AP－AN＝AB－AC＝c－b.PM＝－MP＝－(MN＋NP)＝c－b－c＋b＝c＋b.11．如图，已知M为△ABC的边BC上一点，且满足AM＝AB＋AC，求△ABM与△ABC的面积之比．解：∵AM＝AB＋AC，∴AM＝(MB－MA)＋(MC－MA)，∴MB＋MC＝0，∴MC＝3BM，∴＝＝.——能力提升类——12．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP＝(OA＋OB＋2OC)，则点P一定为(B)A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．△ABC的重心D．AB边的中点解析：∵O是△ABC的重心，∴OA＋OB＋OC＝0，∴OP＝(－OC＋2OC)＝OC，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心)．故选B.13．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，AP＝yAD，AQ＝xAB，其中x，y∈R，且均不为0.若PQ∥BE，则＝.解析：∵PQ＝AQ－AP＝xAB－yAD，由PQ∥BE，可设PQ＝λBE，即xAB－yAD＝λ(CE－CB)＝λ(－AB＋AD)＝－AB＋λAD，∴则＝.14．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量b与c的夹角为150°.解析：由题意画出图形如图，因为a，b的夹角为120°，所以∠CAB＝60°，又|b|＝2|a|，所以∠ACB＝90°，所以∠ABC＝30°，即b与c的夹角为150°.15．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，AD与EF相交于点G，已知CD＝2DB，AF＝4FB，AG＝mAD，AE＝tAC.(1)试用AB，AC表示AD；(2)若m＝，求t的值．解：(1)因为BD＝BC＝(AC－AB)＝AC－AB，所以AD＝AB＋BD＝AB＋＝AB＋AC.(2)依题意知，AF＝AB，AE＝tAC，AG＝AD＝AB＋AC，所以FG＝AG－AF＝AC－AB，FE＝AE－AF＝tAC－AB.因为E，F，G三点共线，所以FG＝λFE，所以＝tλ，－＝－λ，解得t＝.
