课时分层作业(十八)(建议用时：45分钟)一、选择题1．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为()A．0,0B．1,1C．3,0D．3,4D[因为e1与e2不共线，所以解方程组得x＝3，y＝4.]2．(多选题)已知e1和e2是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是()A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1＋e2和e1－e2D．e1－2e2和4e2－2e1ABC[因为e1和e2是平面向量的一组基底，故e1和e2不共线，所以e1和e1＋e2不共线，e1－2e2和e2－2e1不共线，e1＋e2和e1－e2不共线，e1－2e2和4e2－2e1共线．]3．锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是()A.AB与BC的夹角是锐角B.AC与AB的夹角是锐角C.AC与BC的夹角是钝角D.AC与CB的夹角是锐角B[因为△ABC是锐角三角形，所以∠A，∠B，∠C都是锐角．由两个向量夹角的定义知：AB与BC的夹角等于180°－∠B，是钝角；AC与AB的夹角是∠A，是锐角；AC与BC的夹角等于∠C，是锐角；AC与CB的夹角等于180°－∠C，是钝角，所以选项B说法正确．]4．在△ABC中，AE＝AB，EF∥BC，EF交AC于F，设AB＝a，AC＝b，则BF等于()A．－a＋bB．a－bC.a－bD.a＋bA[∵AE＝AB，∴BE＝－AB.又∵EF∥BC，∴EF＝BC＝(AC－AB)，∴BF＝BE＋EF＝－AB＋(AC－AB)＝AC－AB＝－a＋b.]5．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则()A.BO＝－AB＋ACB.BO＝AB－ACC.BO＝AB－ACD.BO＝－AB＋ACD[如图，D为中点，O为靠近A的三等分点，BO＝BA＋AO＝－AB＋AD＝－AB＋×(AB＋AC)＝－AB＋AB＋AC＝－AB＋AC.]二、填空题6．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.a－b[由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，由①＋②得e2＝a＋b，代入①可求得e1＝a－b，所以e1＋e2＝a－b.]7．若向量a＝4e1＋2e2与b＝ke1＋e2共线，其中e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________．2[∵向量a与b共线，∴存在实数λ，使得b＝λa，即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2.∵e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，∴∴k＝2.]8．如图，在正方形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BD＝c，则在以a，b为基底时，AC可表示为________，在以a，c为基底时，AC可表示为________．a＋b2a＋c[以a，c为基底时，将BD平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．]三、解答题9．如图，平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，以a，b为基底表示向量AM与HF.[解]在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，∴AM＝AD＋DM＝AD＋DC＝AD＋AB＝b＋a，HF＝AF－AH＝AB＋BF－AD＝a＋b－b＝a－b.10．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若OC＝λOE＋μOF，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．[解]在矩形OACB中，OC＝OA＋OB，又OC＝λOE＋μOF＝λ(OA＋AE)＋μ(OB＋BF)＝λ＋μ＝OA＋OB，所以＝1，＝1，所以λ＝μ＝.1．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心B[为AB上的单位向量，为AC上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线AD的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．而OP＝OA＋λ，∴点P在AD上移动，∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．]2．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝AB＋AC.则△ABM与△ABC的面积之比________．1∶4[如图，由AM＝AB＋AC可知M，B，C三点共线，令BM＝λBC⇒AM＝AB＋BM＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC⇒λ＝，所以＝，即面积之比为1∶4.]
