平面向量基本定理(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.若四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则等于()A.b+aB.b-aC.a+bD.a-b【解析】选B.=+=+=b-a.2.若向量a，b为两个非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，则向量a+b与a的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.作=a，=b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=a-b，=a+b，∠AOC为向量a与a+b的夹角.因为|a|=|b|=|a-b|，所以△OAB是等边三角形，平行四边形OACB是菱形，所以∠AOB=，∠AOC=∠AOB=.【延伸探究】本题中“|a-b|”改为“|a+b|”，求a，b的夹角.【解析】作=a，=b，则=a+b，由|a|=|b|=|a+b|及三角形法则可知，表示向量a，b，a+b的有向线段可构成等边三角形△OAB(如图所示)，所以a，b的夹角为.【补偿训练】在△ABC中，∠C=90°，BC=AB，则与的夹角是()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选C.如图，作向量=，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠C=90°，BC=AB，所以∠ABC=60°，所以∠BAD=120°.【误区警示】解答本题容易忽视向量夹角的定义要求两个向量共起点，导致误认为∠ABC是与的夹角的错误.3.如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，BE交AC于点F，=λ，则实数λ的值为()A.B.C.D.【解析】选A.设=a，=b，=m，则=λ=λ(a+b)=λa+λb，=a-b，又=+=+m=b+m=ma+(1-m)b，所以所以λ=.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2015·青岛高一检测)已知平面向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y=________.【解析】因为向量e1，e2不共线，所以解得x-y=3.答案：35.(2015·北京高考)在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=__________，y=__________.【解析】由=2，=得=-，=-=-(-)，所以=-=-(-)+=-.所以x=，y=-.答案：-【补偿训练】已知平行四边形OADB的对角线交于点C，=，=，=a，=b，用a，b表示=________，=________.【解析】=a-b，==a-b，=+=a+b，=a+b，=+=+==a+b，=-=a-b.答案：a+ba-b三、解答题6.(10分)(2015·广州高一检测)如图，在△OAB中，=a，=b，M，N分别是边OA，OB上的点，且=a，=b，设与相交于点P，用向量a，b表示.【解析】因为=+，=+，设=m，=n，则=+m=a+m(b-a)=(1-m)a+mb.=+n=b+n(a-b)=(1-n)b+na.因为a，b不共线，所以⇒n=，m=.所以=a+b.【补偿训练】在△ABC中，=，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示，设=a，=b，试用a和b表示.【解析】因为M为BC的中点，所以==(-)=(b-a)，=(+)=(a+b).因为∥，与共线，所以存在实数λ和μ，使得=λ=λ(b-a)，=μ=μ(a+b)=μa+μb.=+=a+λ(b-a)=a+b.根据平面向量基本定理，得解得λ=μ=.所以=(b-a).(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.过△ABC的重心G任意作一直线分别交AB，AC于点D，E，若=x，=y，xy≠0，则+的值为()A.4B.3C.2D.1【解析】选B.因为G，D，E三点共线，所以=α+β(α+β=1)，即=αy+βx；又设BC的中点为M，==×，所以αy=，βx=，所以+=3α+3β=3.【拓展延伸】三角形中的常用结论在△ABC中：(1)若=，则AD是△ABC中BC边的中线.(2)=⇔G为△ABC的重心，特别地，++=0⇔G为△ABC的重心.(3)||=||=||⇔O是△ABC的外心.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，向量满足++=0，则与x轴正半轴夹角的取值范围是()A.B.C.D.【解题指南】先由++=0推知向量+与反向，然后通过分析向量+与x轴正半轴的夹角推知向量与x轴正半轴的夹角.【解析】选B.因为++=0，所以+=-，如图1所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OAC1B，则+=，=-，固定的长度，的长度缩小，点C1向B靠近(图2)，固定的长度，的长度缩小，点C1向A靠近(图3).因为向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，所以与x轴正半轴夹角取值范围为，由与的方向相反知与x轴正半轴夹角的取值范围为.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·厦门高一检测)e1，e2为两个不共线的向量，a=-e1+3e2，b=4e1+2e2，c=-3e1+12e2，以b，c为基底表示向量a=__________.【解题指南】利用平面向量的基本定理可设a=xb+yc(x，y∈R)，由于e1，e2为两个不共线的向量，利用向量相等求解x，y即可.【解析】设a=xb+yc(x，y∈R)，则-e1+3e2=x(4e1+2e2)+y(-3e1+12e2)，即-e1+3e2=(4x-3y)...
