高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2-3课后习题 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课后篇巩固探究1.已知=(2,3),则点N位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.不确定解析因为点M的位置不确定,所以点N的位置也不确定.答案D2.已知点A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),当=a+2b时,点B的坐标为()A.(2,7)B.(0,-7)C.(3,-6)D.(-4,5)解析∵a=(-1,0),b=(1,-1),∴a+2b=(-1,0)+2(1,-1)=(1,-2).设点B的坐标为(x,y),则=(x+1,y+5),∴由已知得(x+1,y+5)=(1,-2),∴∴点B的坐标为(0,-7).答案B3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于()A.(-2,6)B.(-4,0)C.(7,6)D.(-2,0)解析∵a-3b+2c=0,∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即∴即c=(-2,0).故选D.答案D4.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为()A.B.C.(3,2)D.(1,3)解析设顶点D的坐标为(x,y),因为=(4,3),=(x,y-2),且=2,所以所以所以选A.答案A5.导学号68254077已知,且向量=(tanα,1),=(2tanα,-3),则=()A.(3,-2)B.(-3,-2)C.(1,-4)D.(-1,4)解析由,可得2sinα=sinα+cosα,于是tanα=1,因此=(3tanα,-2)=(3,-2).答案A6.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d=()A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)解析设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,-6).答案D7.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“􀱇”,向量a􀱇b=(a1,b1)􀱇(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=,n=,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足=m􀱇+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为()A.-1B.-2C.2D.解析由题意知,点P的坐标为(x,sinx),则=m􀱇+n=.又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin.所以函数y=f(x)的最小值为-2.答案B8.已知A(3,-5),B(-1,3),点C在线段AB上,且=3,则点C的坐标是.解析设C(x,y),则=(x-3,y+5),3=3(-1-x,3-y)=(-3-3x,9-3y).∵=3,∴解得x=0,y=1,即点C的坐标是(0,1).答案(0,1)9.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+2=.解析∵A(2,-1),B(4,2),C(1,5),∴=(2,3),=(-3,3).∴+2=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).答案(-4,9)10.已知向量a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),若c=ka+lb,则k,l的值分别为.解析∵a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),∴(11,7)=k(1,2)+l(3,1),即解得k=2,l=3.答案2,311.设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2=(7,9),且向量=.解析设=(m,n),则=(-n,m),所以2=(2m-n,2n+m)=(7,9),即因此.答案12.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至E,使||=|,则点E的坐标为.解析设C(x1,y1),依题意有(x1-2,y1+1)=(x1-1,y1-4),解得即C(3,-6).又依题意可得,设E(x0,y0),所以(x0-3,y0+6)=(x0-4,y0+3),解得故点E坐标为.答案13.导学号68254078若α,β是一组基底,γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为.解析因为向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),所以有a=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4),设a=x(-1,1)+y(1,2),则有答案(0,2)14.已知点A(-1,2),B(2,8),及=-,求点C,D和的坐标.解设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).∵=-,∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6),即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).∴∴∴点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0).故=(-2,-4).15.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标.解(1)设点A(x,y),B(x0,y0),∵|a|=2,且∠AOx=45°,∴x=2cos45°=,且y=2sin45°=.又|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,∴x0=3cos120°=-,y0=3sin120°=.故a==(),b=.(2)如图所示,以点O为原点,所在直线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.∵||=1,∠AOB=150°,∴B(-cos30°,sin30°),∴B.∵||=3,∴C(-3sin30°,-3cos30°),即C.又A(2,0),∴-(2,0)=,.16.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及的坐标.解a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵a=mb+nc,∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).∴∴(3)设M(x1,y1),由=3c,得(x1+3,y1+4)=3(1,8),∴∴x1=0,y1=20.∴M(0,20).同理,设N(x2,y2),由=-2b,得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).∴解得∴N(9,2).∴=(9,-18).