2.3平面向量的数量积典题精讲例1(2006全国高考卷Ⅰ，文1)已知向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2，则a与b的夹角为()A.B.C.D.思路解析:考查向量数量积的坐标运算和向量的有关概念以及向量垂直的条件. cos〈a，b〉==，〈a，b〉∈［0，π］，∴〈a，b〉=.答案:C绿色通道:求向量a与b的夹角步骤：(1)计算b·a，|a|，|b|；(2)计算cos〈a，b〉；(3)根据范围确定夹角的大小.变式训练1(2006广东广州二模)若|a|=1，|b|=，(a-b)⊥a，则向量a与b的夹角为()A.30°B.45°C.90°D.135°思路解析:设a与b的夹角为θ， (a-b)·a=0，∴|a|2-b·a=0.∴b·a=1.∴cosθ==.又 0°≤θ≤180°，∴θ=45°.答案:B变式训练2已知a=(1，)，b=(+1，-1)，则a与b的夹角是多少?思路分析:利用向量数量积的坐标运算来求夹角的余弦值.解：设a与b的夹角为θ， a=(1，)，b=(+1，-1)，∴a·b=+1+(-1)=4，|a|=2，|b|=2.∴cosθ==.又 0≤θ≤π，∴θ=，即a与b的夹角是.变式训练3已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.思路分析:求a与b的夹角余弦值，只要求出a·b与|a|、|b|即可.解： (a+3b)⊥(7a-5b)，∴(a+3b)·(7a-5b)=0.∴7a2+16a·b-15b2=0.①又 (a-4b)⊥(7a-2b)，∴(a-4b)·(7a-2b)=0.∴7a2-30a·b+8b2=0.②①-②得46a·b=23b2，即有a·b=b2=|b|2.代入①式，得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0，故有|a|2=|b|2，即|a|=|b|.∴cos〈a，b〉===.又 0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=60°，即a与b的夹角为60°.变式训练4已知△ABC中，a=5，b=8，BC·CA=-20，试求∠C.有位同学求解如下：解：如图2-3-5， ||=a=5，||=b=8，图2-3-5∴cos∠C===-.又 0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°.这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？思路解析:上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，由于与两向量的起点并不同，故∠C≠〈，〉，而是∠C+〈，〉=180°，则cos〈，〉===-.又 0°≤〈，〉≤180°，∴〈，〉=120°.∴∠C=60°.答案:这位同学的解答不正确，∠C=60°.批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么你就成功了，请你再试试吧.例2已知向量a、b不共线，且|2a+b|=|a+2b|，求证：(a+b)⊥(a-b).思路分析:考查向量垂直的条件以及向量的数量积.证明(a+b)与(a-b)垂直，转化为证明(a+b)与(a-b)的数量积为零，也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.证法一： |2a+b|=|a+2b|，∴(2a+b)2=(a+2b)2.∴4a2+4ab+b2=a2+4ab+4b2.∴a2=b2.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线，a+b≠0，a-b≠0，∴(a+b)⊥(a-b).证法二：如图2-3-6所示，在平行四边形OCED中，设=a，=b,A、B、N、M分别是OC、OD、DE、EC的中点.图2-3-6则有2a+b=，a+2b=，a+b=,a-b=， |2a+b|=|a+2b|，∴||=||.∴△OMN是等腰三角形.可证F是MN的中点.∴OE⊥BA.∴⊥.∴⊥.∴(a+b)⊥(a-b).绿色通道:证明向量垂直的两种方法：(1)应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.(2)应用向量加减法的几何意义来证明.变式训练已知向量a、b均为非零向量，且|a|=|b|，求证：(a-b)⊥(a+b).思路分析:转化为证明向量(a-b)和(a+b)的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明.证法一：如图2-3-7所示，在平行四边形OACB中，图2-3-7设=a,=b，则a-b=，a+b=.∴||=||.∴四边形OACB是菱形.∴OC⊥BA.∴⊥，即(a-b)⊥(a+b).证法二： |a|=|b|，∴(a-b)·(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0. a、b均为非零向量，∴a-b≠0，a+b≠0.∴(a-b)⊥(a+b).例3(2004湖北高考，理19)如图2-3-8，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值.图2-3-8思路分析:本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.可以用基向量法和坐标系法解决.解法一：(基向量法) ⊥，∴·=0. =-，，，∴·=()·()=·-·-·+·=-a2-··=-a2-·()=-a2+·=-a2+·=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.解法二：(坐标法)如图2-3-9所示，以A为原点，以ＡＢ所在直线为x轴建立平面直角坐标系.图2-3-9设|AB|=c，|AC|=b...
