3平面向量的数量积典题精讲例1(2006全国高考卷Ⅰ，文1)已知向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2，则a与b的夹角为()A
思路解析:考查向量数量积的坐标运算和向量的有关概念以及向量垂直的条件
cos〈a，b〉==，〈a，b〉∈［0，π］，∴〈a，b〉=
答案:C绿色通道:求向量a与b的夹角步骤：(1)计算b·a，|a|，|b|；(2)计算cos〈a，b〉；(3)根据范围确定夹角的大小
变式训练1(2006广东广州二模)若|a|=1，|b|=，(a-b)⊥a，则向量a与b的夹角为()A
135°思路解析:设a与b的夹角为θ， (a-b)·a=0，∴|a|2-b·a=0
∴b·a=1
∴cosθ==
又 0°≤θ≤180°，∴θ=45°
答案:B变式训练2已知a=(1，)，b=(+1，-1)，则a与b的夹角是多少
思路分析:利用向量数量积的坐标运算来求夹角的余弦值
解：设a与b的夹角为θ， a=(1，)，b=(+1，-1)，∴a·b=+1+(-1)=4，|a|=2，|b|=2
∴cosθ==
又 0≤θ≤π，∴θ=，即a与b的夹角是
变式训练3已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角
思路分析:求a与b的夹角余弦值，只要求出a·b与|a|、|b|即可
解： (a+3b)⊥(7a-5b)，∴(a+3b)·(7a-5b)=0
∴7a2+16a·b-15b2=0
①又 (a-4b)⊥(7a-2b)，∴(a-4b)·(7a-2b)=0
∴7a2-30a·b+8b2=0
②①-②得46a·b=23b2，即有a·b=b2=|b|2
代入①式，得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0，故有|a|2=|b|2，即|a|=|b|
∴cos〈a，b〉===
又 0°≤〈a，b〉≤
