2.3.1平面向量基本定理课后篇巩固探究A组基础巩固1.在正方形ABCD中,的夹角等于()A.45°B.90°C.120°D.135°解析如图,将平移到,则的夹角即为的夹角,且夹角为135°.答案D2.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()A.0,0B.1,1C.3,0D.3,4解析因为向量e1与e2不共线,所以答案D3.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为()A.3e1-2e2B.-3e1-3e2C.3e1+2e2D.2e1+3e2答案C4.若点D在△ABC的边BC上,且=4=r+s,则3r+s的值为()A.B.C.D.解析∵=4=r+s,∴)=r+s,∴r=,s=-,∴3r+s=3×.答案C5.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足()A.m>0,n>0B.m>0,n<0C.m<0,n>0D.m<0,n<0解析如图所示,利用平行四边形法则,将分解到上,有,则=m=n,很明显方向相同,则m>0;方向相反,则n<0.答案B6.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为.解析由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,即xe1+2e2=3λe1+λye2,所以故xy=3λ·=6.答案67.如图,C,D是△AOB中边AB的三等分点,设=e1,=e2,以e1,e2为基底来表示=,=.解析=e1+(e2-e1)=e1+e2,=(e2-e1)=e1+e2.答案e1+e2e1+e28.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为.解析由题意可画出图形,在△OAB中,∠OAB=60°,又|b|=2|a|,∴∠ABO=30°.∴∠BOA=90°,a与c的夹角为180°-∠BOA=90°.答案90°9.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得所以λ不存在,故a,b不共线,即a,b可以作为一组基底.(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以故c=2a+b.10.导学号68254073如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b.(1)用a,b表示;(2)求证:B,E,F三点共线.(1)解如图,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),b,(a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a).(2)证明由(1)知,,∴共线.又有公共点B,∴B,E,F三点共线.B组能力提升1.若O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三点,若点P满足+λ(λ∈(0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析设线段BC的中点为D,则有),因此由已知得+λ,即=λ,于是=λ,则,因此P点在直线AD上,又AD是△ABC的BC边上的中线,因此点P的轨迹一定经过三角形ABC的重心.答案C2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.解析如图,由题意知,D为AB的中点,,∴=)=-.∴λ1=-,λ2=.∴λ1+λ2=-.答案3.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值等于.解析如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则.在Rt△OCD中,因为||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以||=4,||=2,故=4=2,即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.答案64.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求AP∶PM的值.解设=e1,=e2,则=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2,∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.又=2e1+3e2,∴∴,即AP∶PM=4∶1.5.导学号68254074如图,已知△OAB,若正实数x,y满足x+y<1,且有=x+y.证明:点P必在△OAB内部.证明由题意可设x+y=t,t∈(0,1),则=1.设P'为平面内一点,且,则)=,所以点P'在直线AB上.又∈(0,1),所以点P'在线段AB上(异于端点).因为=x+y=t,t∈(0,1),即点P在线段OP'上(异于端点),所以点P必在△OAB内部.
