2.3.4平面向量共线的坐标表示主动成长夯基达标1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(,-)解析：平面内任意两个不共线的向量都可作为所在平面内所有向量的基底.对于A,e1=0与任何向量共线,C中,2e1=e2,∴e1与e2共线.D中,e1=e2,∴e1与e2共线.答案：B2.已知a=(-1,3),b=(x,-1),且a、b共线,则x等于()A.3B.-3C.D.-解析：因为a、b共线,所以1=3x,∴x=.答案：C3.已知A(-1,-4),B(8,),且A、B、C三点共线,则C点的坐标为()A.(9,1)B.(-9,1)C.(9,-1)D.(-9,-1)解析：设C(x,y),=(8,)-(-1,-4)=(9,),=(x,y)-(8,)=(x-8,y-),=(x,y)-(-1,-4)=(x+1,y+4),∵A、B、C三点共线,∴与与三个向量共线.∴经检验x=9,y=1适合.答案：A4.设a=(,tanα),b=(cosα,),且a、b共线,则锐角α的值为()A.B.C.D.解析：∵a、b共线,∴×-tanα·cosα=0,即sinα=.∴α=.答案：B5.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则等于()A.B.2C.-D.-2解析：ma+nb=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n,3m+2n),a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),-2m+n=12m+8n.∴14m=-7n.∴.答案：C6.已知向量a=(,1),向量b=(sinα-m,cosα),α∈R,且a∥b,则m的最小值为()A.-2B.-1C.D.-3解析：∵a∥b,∴cosα=sinα-m,即sinα-cosα=m,2sin(α-)=m.∴sin(α-)=.∴=-1.∴m=-2.答案：A7.向量a=(x,1),b=(9,x),若a与b共线且方向相反,则x=______________.解析：x2=9,∴x=±3.又∵a与b方向相反,∴x=-3.答案：-38.已知|a|=10,b=(4,-3),且a∥b,则向量a的坐标为______________.解析：设a=(x,y),∴解之,得或答案：(8,-6)或(-8,6)9.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),(1)求3a+b-2c;(2)求满足a=mb+nc的实数m、n;(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(4)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d.解：(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).(2)∵a=mb+nc,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).∴解之,得∴(3)∵(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.∴k=.(4)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,∴解之,得或∴d=(4+,1+)或d=(4,1-).10.已知向量a=(cosx,sinx),b=(sin2x,1-cos2x),c=(0,1),x∈(0,π).(1)向量a、b是否共线?请说明理由.(2)求函数f(x)=|b|-(a+b)·c的最大值.解：(1)a与b共线.∵cosx·(1-cos2x)-sinx·sin2x=cosx·2sin2x-sinx·2sinx·cosx=0,∴a与b共线.(2)|b|===2|sinx|,∵x∈(0,π),∴sinx＞0.∴|b|=2sinx.又(a+b)·c=(cosx+sin2x,sinx+1-cos2x)·(0,1)=sinx+2sin2x,∴f(x)=-2sin2x+sinx=-2(sinx-)2+.∵x∈(0,π),∴当sinx=时,函数f(x)取得最大值.走近高考11.(2005全国高考卷Ⅲ,14)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三点共线,则k=___________.解析：由题知=λ,即-=λ(-),代入得(4-k,-7)=λ(-2k,-2),∴,解之,得k=-.答案：-12.(经典回放)已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα等于()A.B.-C.D.解析：∵a∥b,∴3cosα=4sinα.∴tanα=.答案：A13.已知点A(1,-2),若向量与a=(2,3)同向,||=,则点B的坐标为__________.解析：设B(x,y),则=(x-1,y+2)与a=(2,3)同向,则有3x-3=2y+4.①由||=,②解方程组可得x=5,y=4.答案：(5,4)
