课时分层作业(十七)(建议用时：45分钟)一、选择题1.等于()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－bB[原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(－3a＋6b)＝－a＋2b＝2b－a.]2．已知AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线B[BD＝BC＋CD＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝AB，又∵BD与AB有公共点B，∴A，B，D三点共线．]3．在四边形ABCD中，若AB＝3a，CD＝－5a，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．非等腰梯形C[由条件可知AB＝－CD，∴AB∥CD，又因为|AD|＝|BC|，所以四边形为等腰梯形．]4．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝()A.AB－ACB.AB－ACC.AB＋ACD.AB＋ACA[如图所示，EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC，故选A.]5．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中AB＝a，CD＝b.A．①②B．①③C．②D．③④A[对于①，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于②，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于③，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于④，梯形中没有条件AB∥CD，可能AC∥BD，故a与b不一定共线．]二、填空题6．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.－[由题意可以设a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b，因为a与b不共线，所以有解得即λ＝－.]7．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－3OB＋2OC＝0，则＝________.2[∵OA－3OB＋2OC＝0，∴OB－OA＝2(OC－OB)，∴AB＝2BC，∴＝2.]8．已知在△ABC中，点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________.3[∵MA＋MB＋MC＝0，∴MB＋MC＝－MA，又由AB＋AC＝mAM得(MB＋MC)－2MA＝mAM，即－3MA＝mAM＝－mMA，所以m＝3.]三、解答题9．如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA交点为E，设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.[解]∵AC＝BA，∴A是BC的中点，∴OA＝(OB＋OC)，∴OC＝2OA－OB＝2a－b.∴DC＝OC－OD＝OC－OB＝2a－b－b＝2a－b.10．设两个非零向量e1，e2不共线，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．[解]设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，∵DB＝CB－CD＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，AB＝2e1＋ke2，又∵A，B，D三点共线，∴AB＝λDB，∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，∴∴k＝－8，∴存在k＝－8，使得A，B，D三点共线．1．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF等于()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋bD[∵△DEF∽△BEA，∴＝＝，∴DF＝AB，∴AF＝AD＋DF＝AD＋AB.∵AC＝AB＋AD＝a，BD＝AD－AB＝b，联立得：AB＝(a－b)，AD＝(a＋b)，∴AF＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.]2．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若AE＝λAB＋μAC，则t＝λ－μ的最大值是________．3[AE，AD共线，则AE＝kAD(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则AD＝2AB－AC，AE＝2kAB－kAC，又AE＝λAB＋μAC，∴∴λ－μ＝3k≤3，故最大值为3.]
