2.2.3向量数乘运算及其几何意义【基础练习】1．(2019年浙江台州期末)若点P在直线AB上且AP＝2PB，AB＝λBP，则λ的值为()A．－3B．－C．D．3【答案】A【解析】由AP＝2PB，可得点P在线段AB上且|AP|＝2|PB|，所以AB＝3|BP|且AB与BP反向，即AB＝－3BP，得λ＝－3.故选A．2．点P是△ABC所在平面内一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC内部B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．BC边所在的直线上【答案】B【解析】∵CB＝λPA＋PB，∴CB－PB＝λPA.∴CP＝λPA.∴P，A，C三点共线．∴点P一定在AC边所在的直线上．3．(2019年安徽合肥模拟)在△ABC中，BD＝DC，则AD＝A．AB＋ACB．AB＋ACC．AB＋ACD．AB－AC【答案】B【解析】由BD＝DC，可得AD－AB＝(AC－AD)，可得AD＝AB＋AC.故选B．4．(2019年四川绵阳模拟)已知向量a，b，AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【答案】A【解析】BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2AB，所以A，B，D三点共线．5．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________.【答案】－16i＋j【解析】－3＋(2b－a)＝a－b－3a－2b＋2b－a＝－a－b＝－(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋j－5i－4j＝－16i＋j.6．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为________．【答案】3【解析】∵MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心．∴AM＝×(AB＋AC)，即AB＋AC＝3AM.∴m＝3.7．已知▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，对角线AC，BD交于点O，用a，b表示OA，BO.【解析】OA＝CA＝(CB＋BA)＝(－a－b)．BO＝BD＝(AD－AB)＝(b－a)．8．已知向量e1，e2是两个共线向量，若a＝e1－e2，b＝2e1＋2e2，求证：a∥b.【证明】若e1＝e2＝0，则a＝b＝0，所以a与b共线，即a∥b.若e1，e2中至少有一个不为零向量，不妨设e1≠0，则e2＝λe1(λ∈R)，a＝(1－λ)e1，b＝2(1＋λ)e1，所以a∥e1，b∥e1.因为e1≠0，所以a∥b.综上可知，a∥b.【能力提升】9．在△ABC中，点P是AB上一点且CP＝CA＋CB，又AP＝tAB，则实数t的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得AP＝CP－CA＝CA＋CB－CA＝(CB－CA)＝AB.又AP＝tAB，∴t＝.故选A．10．(2018年贵州贵阳二模)如图，在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，O是BE的中点，若AB＝a，AC＝b，则AO＝()A．a＋bB．a＋bC．a＋bD．a＋b【答案】D【解析】∵在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，∴AE＝AC.∵O是BE边的中点，∴AO＝(AB＋AE)＝AB＋AE＝a＋b.故选D．11．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝________.【答案】a－b＋c【解析】∵2x－a－b－c＋x＋b＝0，∴x＝a－b＋c.∴x＝a－b＋c.12．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD＝－5e－3f.(1)将AD用e，f表示；(2)求证：四边形ABCD为梯形．【解析】(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，即AD＝2BC，所以根据数乘向量的定义，AD与BC同向共线且AD的长度为BC的长度的2倍．所以在四边形ABCD中，AD∥BC且AD≠BC．所以四边形ABCD是梯形．
