2.2.3向量数乘运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1．下列各式计算正确的个数是()①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.A．0B．1C．2D．3解析：根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．答案：C2．如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，则向量DC＝()A.BA＋BCB.BA－BCC．－BA－BCD．－BA＋BC解析：因为D是AB的中点，所以BD＝BA，所以DC＝BC－BD＝BC－BA.答案：D3．已知非零向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析：因为AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，所以AC＝AB＋BC＝－4a＋8b，BC＋CD＝2a＋4b＝BD＝2AB，所以A，B，D三点共线．答案：A4．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则()A.PA＋PB＝0B.PC＋PA＝0C.PB＋PC＝0D.PA＋PB＋PC＝0解析：如图，因为BC＋BA＝2BP，所以P是线段AC的中点，所以PA＝－PC，即PC＋PA＝0.答案：B5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若AB＝a，AD＝b，则AF＝()A.a＋bB.a＋bC．a＋bD．a＋b解析：由已知条件可知BE＝3DE，所以DF＝AB，所以AF＝AD＋DF＝AD＋AB＝a＋b.答案：A二、填空题6．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.解析：因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝，又方向相反，所以a＝－b.答案：－7．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．解析：因为λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以解得答案：8．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为________．解析：因为MA＋MB＋MC＝0，所以点M是△ABC的重心，所以AB＋AC＝3AM，所以m＝3.答案：3三、解答题9．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x；(2)已知其中a，b为已知向量，求x，y.解：(1)原方程可化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0，即2x＋a－4b＝0，所以x＝2b－a.(2)由②得y＝x－b，代入①，得3x＋4＝a，所以3x＋x－b＝a，即17x＝4b＋3a，所以x＝b＋a，所以y＝－b＝b＋a－b＝a－b.10．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD＝－5e－3f.(1)将AD用e，f表示；(2)求证：四边形ABCD为梯形．(1)解：根据向量的线性运算法则，有AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，所以AD与BC同向，且AD的长度为BC长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．B级能力提升1．如图，△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是()A.BG＝BEB.CG＝2GFC.DG＝AGD.DA＋FC＝BC解析：因为G是△ABC的重心，所以BG＝BE，CG＝2GF，DG＝AG，所以BG＝BE，CG＝2GF，DG＝－AG，所以DA＋FC＝DG＋GC＝DC＝BC.所以C不正确．答案：C2．若AP＝tAB(t∈R)，O为平面上任意一点，则OP＝________(用OA，OB表示)．解析：AP＝tAB，OP－OA＝t(OB－OA)，OP＝OA＋tOB－tOA＝(1－t)OA＋tOB.答案：(1－t)OA＋tOB3．设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；(3)若OM＝ma，ON＝nb，OP＝αa＋βb，其中m，n，α，β均为实数，m≠0，n≠0，若M，P，N三点共线，求证：＋＝1.(1)证明：因为AB＝OB－OA＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而BC＝OC－OB＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2AB，所以AB与BC共线，且有公共点B，所以A，B，C三点共线．(2)解：因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.因为a与b不共线，所以解得λ＝±2，所以k＝2λ＝±4.(3)证明：因为M，P，N三点共线，O为直线外一点，所以存在实数x，y，使得OP＝xOM＋yON，且x＋y＝1.又因为OP＝αa＋βb，且a，b不共线，所以OP＝xma＋ynb＝αa＋βb，所以xm＝α，yn＝β，所以＋＝x＋y＝1.
