2.2.2向量减法运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1．化简PM－PN＋MN所得的结果是()A.MPB.NPC．0D.MN解析：PM－PN＋MN＝NM＋MN＝0.答案：C2．下列四个式子中不能化简为AD的是()A．(AB＋CD)＋BCB．(AD＋MB)＋(BC＋CM)C.OC－OA＋CDD.MB＋AD－BM解析：对于A，(AB＋CD)＋BC＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD；对于B，(AD＋MB)＋(BC＋CM)＝(AD＋MB)＋BM＝AD＋(MB＋BM)＝AD＋0＝AD；对于C，OC－OA＋CD＝AC＋CD＝AD；对于D，MB＋AD－BM＝(MB－BM)＋AD＝2MB＋AD.答案：D3．如图，在四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC等于()A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c解析：DC＝AC－AD＝AB＋BC－AD＝a＋c－b＝a－b＋c.答案：A4．在边长为1的正三角形ABC中，|AB－BC|的值为()A．1B．2C.D.解析：作菱形ABCD，则|AB－BC|＝|AB－AD|＝|DB|＝.答案：D5.如图所示，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.AD＋BE＋CF＝0B.BD－CF＋DF＝0C.AD＋CE－CF＝0D.BD－BE－FC＝0解析：因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以AD＝DB，CF＝ED，FC＝DE，FE＝DB，所以AD＋BE＋CF＝DB＋BE＋ED＝0，故A成立．BD－CF＋DF＝BD＋DF－CF＝BF＋FC＝BC≠0，故B不成立．AD＋CE－CF＝AD＋FE＝AD＋DB＝AB≠0，故C不成立．BD－BE－FC＝ED－DE＝ED＋ED≠0，故D不成立．答案：A二、填空题6．化简(AB＋PC)＋(BA－QC)＝________．解析：(AB＋PC)＋(BA－QC)＝(AB＋BA)＋(PC＋CQ)＝0＋PQ＝PQ.答案：PQ7．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．解析：当a与b共线同向时，|a＋b|max＝20；当a与b共线反向时，|a＋b|min＝4.答案：20，48．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c,则OD＝________(用a，b，c表示)．解析：在平行四边形ABCD中，因为OA＝a，OB＝b，所以BA＝OA－OB＝a－b，所以CD＝BA＝a－b，所以OD＝OC＋CD＝a－b＋c.答案：a－b＋c三、解答题9．如图所示，已知a，b，求作a－b.解：10．如图所示，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，CD＝d，OF＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：(1)AC；(2)AD；(3)AD－AB；(4)AB＋CF；(5)BF－BD.解：(1)AC＝OC－OA＝c－a.(2)AD＝AO＋OD＝－OA＋OD＝－a＋d.(3)AD－AB＝BD＝OD－OB＝d－b.(4)AB＋CF＝OB－OA－OC＋OF＝b－a－c＋f.(5)BF－BD＝DF＝OF－OD＝f－d.B级能力提升1．在平行四边形ABCD中，|AB＋AD|＝|AB－AD|，则有()A.AD＝0B.AB＝0或AD＝0C．四边形ABCD是矩形D．四边形ABCD是菱形解析：AB＋AD与AB－AD分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|AB＋AD|＝|AB－AD|，所以四边形ABCD是矩形．答案：C2．对于非零向量a，b，当且仅当________时，有|a－b|＝||a|－|b||.解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|＞||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.答案：a与b同向3．如图所示，▱ABCD中，AB＝a，AD＝b.(1)用a、b表示AC、DB.(2)当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？(3)当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？解：(1)AC＝AD＋AB＝b＋a，DB＝AB－AD＝a－b.(2)由(1)知a＋b＝AC，a－b＝DB.因为a＋b与a－b所在直线垂直，所以AC⊥BD.又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|.所以当|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．(3)假设|a＋b|＝|a－b|，即|AC|＝|BD|.因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD是矩形，所以a⊥b，所以当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|.(4)不可能．因为▱ABCD的两条对角线不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，也就不可能为相等向量了．
