2.2.2向量减法运算及其几何意义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，则BD的相反向量是()A．a－bB．b－aC．a＋bD．－a－b【解析】∵BD＝AD－AB＝b－a，∴BD的相反向量为－(b－a)＝a－b.【答案】A2．若a，b为非零向量，则下列命题错误的是()A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同【解析】当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|，故A，B，D均正确．【答案】C3．在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是()A．AB＋BC＝CAB．BC＋CD＝BDC．AB＋AD＝ACD．AB－AD＝BD【解析】由向量加减法法则知AB＋BC＝AC，BC＋CD＝BD，AB－AD＝DB.C项只有四边形ABCD是平行四边形时才成立，故选B．【答案】B4．给出下列各式：①AB＋CA＋BC；②AB－CD＋BD－AC；③AD－OD＋OA；④NQ－MP＋QP＋MN.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是()A．4B．3C．2D．1【解析】①AB＋CA＋BC＝AC＋CA＝0；②AB－CD＋BD－AC＝AB＋BD－(AC＋CD)＝AD－AD＝0；③AD－OD＋OA＝AD＋DO＋OA＝AO＋OA＝0；④NQ－MP＋QP＋MN＝NQ＋QP＋MN－MP＝NP＋PN＝0.【答案】A5．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()【导学号：00680041】图2215A．AD＋BE＋CF＝0B．BD－CF＋DF＝0C．AD＋CE－CF＝0D．BD－BE－FC＝0【解析】因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以AD＝DB，CF＝ED，FC＝DE，FE＝DB，所以AD＋BE＋CF＝DB＋BE＋ED＝0，故A成立．BD－CF＋DF＝BD＋DF－CF＝BF＋FC＝BC≠0，故B不成立．AD＋CE－CF＝AD＋FE＝AD＋DB＝AB≠0，故C不成立．BD－BE－FC＝ED－DE＝ED＋ED≠0，故D不成立．【答案】A二、填空题6．如图2216所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则OD＝________.(用a，b，c表示)图2216【解析】由题意，在平行四边形ABCD中，因为OA＝a，OB＝b，所以BA＝OA－OB＝a－b，所以CD＝BA＝a－b，所以OD＝OC＋CD＝a－b＋c.【答案】a－b＋c7．设|a|＝|b|＝6，且a与b的夹角为，则|a－b|＝________.【解析】作OA＝a，OB＝b(如图)，则|a－b|＝|BA|，在Rt△BCO中，∠BOC＝，|BO|＝|b|＝6，∴|BC|＝3，∴|a－b|＝|BA|＝2|BC|＝6.【答案】6三、解答题8.如图2217，解答下列各题：图2217(1)用a，d，e表示DB；(2)用b，c表示DB；(3)用a，b，e表示EC；(4)用d，c表示EC.【解】因为AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，EA＝e，所以(1)DB＝DE＋EA＋AB＝d＋e＋a.(2)DB＝CB－CD＝－BC－CD＝－b－c.(3)EC＝EA＋AB＋BC＝a＋b＋e.(4)EC＝－CE＝－(CD＋DE)＝－c－d.9．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，CM＝a，CA＝b，求证：(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|.【导学号：70512027】【证明】如图，在等腰Rt△ABC中，由M是斜边AB的中点，得|CM|＝|AM|，|CA|＝|CB|.(1)在△ACM中，AM＝CM－CA＝a－b.于是由|AM|＝|CM|，得|a－b|＝|a|.(2)在△MCB中，MB＝AM＝a－b，所以CB＝MB－MC＝a－b＋a＝a＋(a－b)．从而由|CB|＝|CA|，得|a＋(a－b)|＝|b|.[能力提升]1．平面内有三点A，B，C，设m＝AB＋BC，n＝AB－BC，若|m|＝|n|，则有()A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形【解析】如图，作AD＝BC，则ABCD为平行四边形，从而m＝AB＋BC＝AC，n＝AB－BC＝AB－AD＝DB.∵|m|＝|n|，∴|AC|＝|DB|.∴四边形ABCD是矩形，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.【答案】C2．已知△OAB中，OA＝a，OB＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．【解】由已知得|OA|＝|OB|，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且OC＝a＋b，BA＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，∴△OAB为正三角形，∴|a＋b|＝|OC|＝2×＝2，S△OAB＝×2×＝.
