2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象和性质课时过关·能力提升基础巩固1.函数y=log2x的图象大致是()答案:C2.函数y=logx(3-2x)的定义域是()A.(-∞,32)B.(0,32)C.(0,1)∪(1,32)D.(0,1)解析:要使函数有意义,自变量x的取值需满足{x>0,x≠1,3-2x>0,解得0
0,2x,x≤0,若f(a)=12,则实数a的值为()A.-1B.❑√2C.-1或❑√2D.1或-❑√2解析:当a>0时,log2a=12,则a=212=❑√2;当a≤0时,2a=12,即2a=2-1,则a=-1.综上,a=-1或❑√2.答案:C4.当a>1时,函数y=logax和y=(1-a)x的图象只能是()解析:∵a>1,∴y=(1-a)x在R上递减,y=logax在(0,+∞)上递增.故选B.答案:B5.若对a(a>0,且a≠1)取不同的值,函数y=loga2x+1x-1的图象恒过定点P,则点P的坐标为()A.(1,0)B.(-2,0)C.(2,0)D.(-1,0)解析:令2x+1x-1=1,解得x=-2.故函数图象恒过定点P的坐标为(-2,0).答案:B6.函数f(x)=❑√x-3+lg(4-x)的定义域为.解析:要使函数有意义,自变量x的取值需满足{x-3≥0,4-x>0,解得3≤x<4.答案:[3,4)7.已知对数函数f(x)的图象过点(3,-2),则f(❑√3)=.解析:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),所以-2=loga3,所以a-2=3,所以a=3-12=❑√33,则f(x)=log❑√33x,故f(❑√3)=log❑√33❑√3=log❑√33(❑√33)-1=-1.答案:-18.已知函数f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是.解析:令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,∴f(x)的图象恒过定点(2,2).答案:(2,2)9.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(3,1),则a=.解析:设f(x)的反函数为g(x),则g(x)=logax(a>0,且a≠1).∵g(x)的图象过点(3,1),∴loga3=1,∴a=3.答案:310.已知对数函数f(x)=(m2-m-1)log(m+1)x,求f(27)的值.解:∵f(x)是对数函数,∴{m2-m-1=1,m+1>0,m+1≠1,解得m=2.∴f(x)=log3x,∴f(27)=log327=3.能力提升1.若f(x)=1log12(2x+1),则f(x)的定义域为()A.(-12,0)B.(-12,+∞)C.(-12,0)∪(0,+∞)D.(-12,2)解析:由题意,知{2x+1>0,log12(2x+1)≠0,即{2x+1>0,2x+1≠1,解得x>-12,且x≠0.答案:C2.函数y=ax与y=-logax(a>0,且a≠1)在同一平面直角坐标系中的图象的形状可能是()解析:函数y=-logax恒过定点(1,0),故排除B项;当a>1时,y=ax在R上是增函数,y=-logax在(0,+∞)上是减函数;当00的图象如图所示,则a+b+c=.解析:由图象可求得直线的方程为y=2x+2,即a=2,b=2,又函数y=logc(x+19)的图象过点(0,2),将其坐标代入可得c=13,所以a+b+c=2+2+13=133.答案:1335.设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(x1x2…x2018)=8,则f(x12)+f(x22)+…+f(x20182)的值等于.解析:∵f(x12)+f(x22)+f(x32)+…+f(x20182)=logax12+logax22+logax32+…+logax20182=loga(x1x2x3…x2018)2=2loga(x1x2x3…x2018)=2f(x1x2x3…x2018),∴原式=2×8=16.答案:166.若函数f(x)=log12(3x-a)的定义域是(23,+∞),则f(2)=.解析:令3x-a>0,得x>a3.由已知得23=a3,∴a=2.∴f(x)=log12(3x-2).∴f(2)=log12(3×2-2)=log124=-2.答案:-27.求函数y=-lg2x+6lgx的定义域和值域.分析定义域可由函数的解析式直接得出,求值域可利用换元法,将其转化为求二次函数的值域.解:∵要使函数有意义,自变量x的取值需满足x>0,∴函数的定义域是(0,+∞).设lgx=t,由于x∈(0,+∞),则t∈R,故y=-t2+6t=-(t-3)2+9.∵t∈R,∴y≤9.∴函数的值域是(-∞,9].★8.已知函数f(x)=log2(1+x2).求证:(1)函数f(x)是偶函数;(2)函数f(x)在区间(0,+∞)内是增函数.分析(1)先求函数f(x)的定义域,再证明f(-x)=f(x);(2)依据证明函数单调性的步骤来证明即可.证明(1)函数f(x)的定义域是R,f(-x)=log2[1+(-x)2]=log2(1+x2)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2)设x1,x2为(0,+∞)内的任意两个实数,且x1
