【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程学业分层测评8椭圆方程及性质的应用新人教A版选修1-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是()A．－＜a＜B．a＜－或a＞C．－2＜a＜2D．－1＜a＜1【解析】 点A(a,1)在椭圆＋＝1内部，∴＋＜1.∴＜.则a2＜2，∴－＜a＜.【答案】A2．已知直线y＝kx＋1和椭圆x2＋2y2＝1有公共点，则k的取值范围是()A．k＜－或k＞B．－＜k＜C．k≤－或k≥D．－≤k≤【解析】由得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0. 直线与椭圆有公共点．∴Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0，则k≥或k≤－.【答案】C3．(2016·重庆高二检测)过椭圆＋＝1的一个焦点F作垂直于长轴的弦，则此弦长为()A.B．3C．2D.【解析】因为F(±1,0)，所以过椭圆的焦点F且垂直于长轴的弦与椭圆的交点坐标为，所以弦长为3.【答案】B4．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得线段的中点的坐标是()A.B.C.D.【解析】联立方程消去y，得3x2＋4x－2＝0.设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)．∴x1＋x2＝－，x0＝＝－，y0＝x0＋1＝，∴中点坐标为.【答案】C5．经过椭圆＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，则OA·OB＝()【导学号：26160041】A．－3B．－C．－或－3D．±【解析】椭圆右焦点为(1,0)，设l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝x－1代入＋y2＝1，1得3x2－4x＝0.∴A(0，－1)，B，∴OA·OB＝－.【答案】B二、填空题6．直线l过定点A(－3,0)，则过点A的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．【解析】 A(－3,0)为椭圆长轴一个顶点，∴当过点A作椭圆切线时，直线与椭圆有一个公共点(即切点)；当过点A作与椭圆相交的直线时，二者有两个交点，故填1或2.【答案】1或27．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，|AM|＝1，且PM·AM＝0，则|PM|的最小值是________．【解析】易知点A(3,0)是椭圆的右焦点． PM·AM＝0，∴AM⊥PM.∴|PM|2＝|AP|2－|AM|2＝|AP|2－1， 椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP|min＝2，∴|PM|min＝.【答案】8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．【解析】由题意知，右焦点坐标为(1,0)，直线的方程为y＝2(x－1)，将其与＋＝1联立，消去y，得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.设原点到直线的距离为d，则d＝＝.所以S△OAB＝|AB|·d＝××＝.【答案】三、解答题9．已知椭圆＋＝1，直线l：y＝4x＋，若椭圆上存在两点P、Q关于直线l对称，求直线PQ的方程．【解】法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则kPQ＝－.设PQ所在直线方程为y＝－＋b.由消去y，得13x2－8bx＋16b2－48＝0.∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)＞0.解得b2＜，x1＋x2＝，设PQ中点为M(x0，y0)，则有x0＝＝，y0＝－·＋b＝. 点M在直线y＝4x＋上，∴＝4·＋，∴b＝－.直线PQ的方程为y＝－x－，2即2x＋8y＋13＝0.法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)是PQ的中点．则有两式相减，得3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0. x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，∴＝－＝－kPQ. kPQ＝－，∴y0＝3x0.代入直线y＝4x＋，得x0＝－，y0＝－，则直线PQ的方程为y＋＝－，即2x＋8y＋13＝0.10．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．【解】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝.(2)直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x1－x2|，即＝|x1－x2|.所以(x1＋x2)2－4x1x2＝，即－＝＝，解得b2＝或b2＝－(舍去)，又b＞0，∴b＝.[能力提升]1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，A(－a,0)，B(0，b)为椭圆的两个顶点，若点F到AB的距离为，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】直线AB的方程是＋＝1，即bx－ay...
