2.2.1双曲线及其标准方程A级基础巩固一、选择题1．双曲线－＝1的焦点坐标为()A．(－，0)，(，0)B．(0，－)，(0，)C．(－5，0)，(5，0)D．(0，－5)，(0，5)解析：由双曲线的标准方程，知a＝4，b＝3，所以c＝5，又由于焦点在x轴上．所以焦点为(－5，0)，(5，0)．答案：C2．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A．－1＜m＜3B．m＞－1C．m＞3D．m＜－1答案：B3．已知双曲线C：－＝1中＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：由题意得c＝5，＝，所以a＝4，则b2＝c2－a2＝25－16＝9.所以双曲线的标准方程为－＝1.答案：C4．已知F1(－5，0)，F2(5，0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为()A．双曲线和一条直线B．双曲线的一支和一条直线C．双曲线和一条射线D．双曲线的一支和一条射线解析：由题意知|F1F2|＝10，因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以当a＝3时，2a＝6＜|F1F2|，为双曲线的一支，当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，为一条射线．答案：D5．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是()A.B．1或－2C．1或D．1解析：依题意得解得a＝1.答案：D二、填空题6．若双曲线与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(，4)，则该双曲线的标准方程为___________________________________．解析：由椭圆方程，知c＝3，且焦点在y轴上．所以可设双曲线的方程为－＝1(0＜a2＜9)．将点的坐标(，4)代入，得－＝1，解得a2＝4(a2＝36舍去)．所以该双曲线的标准方程为－＝1.答案：－＝17．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝________．解析：依题意有解得|PF2|＝6，|PF1|＝8.答案：88．若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________．解析：由双曲线定义可知|AF1|＝2a＋|AF2|＝4＋|AF2|；|BF1|＝2a＋|BF2|＝4＋|BF2|，所以|AF1|＋|BF1|＝8＋|AF2|＋|BF2|＝8＋|AB|＝13.△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝18.答案：18三、解答题9．双曲线－＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m的取值范围．解：(1)当焦点在x轴上，有m＞5，则c2＝m＋m－5＝9，所以m＝7；(2)当焦点在y轴上，有m＜0，则c2＝－m＋5－m＝9，所以m＝－2.综上所述，m＝7或m＝－2.10．已知k为实常数，命题p：方程(k－1)x2＋(2k－1)y2＝(2k－1)(k－1)表示椭圆，命题q：方程(k－3)x2＋4y2＝4(k－3)表示双曲线．(1)若命题p为真命题，求实数k的取值范围；(2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数k的取值范围．解：(1)若命题p为真命题，则解得k＞1，即实数k的取值范围是(1，＋∞)．(2)当p真q假时，解得k≥3，当p假q真时，解得k≤1，故实数k的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．B级能力提升1．k＜2是方程＋＝1表示双曲线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：k＜2⇒方程＋＝1表示双曲线，而方程＋＝1表示双曲线⇒(4－k)(k－2)＜0⇒k＜2或k＞4，故k＜2是方程＋＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：A2．过点P1(2，1)和P2(－3，2)的双曲线的方程是________．解析：设方程为ax2＋by2＝1(ab＜0)，则解方程组得所以双曲线的方程是－＝1.答案：－＝13．已知双曲线16x2－9y2＝144，F1F2是左右两焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2.解：由题意知||PF1|－|PF2||＝6，所以(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36.所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100.又由题意知|F1F2|＝2c＝10，所以cos∠F1PF2＝＝＝0.所以∠F1PF2＝90°.
