2.1.1椭圆及其标准方程A级基础巩固一、选择题1．设定点F1(0，－2)，F2(0，2)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝m＋(m＞2)，则点P的轨迹是()A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段解析：因为m＞2，所以m＋＞2＝4，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆．答案：A2．椭圆＋＝1的焦点坐标是()A．(±5，0)B．(0，±5)C．(0，±12)D．(±12，0)解析：因为c2＝a2－b2＝169－25＝122，所以c＝12.又焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，±12)，答案：C3．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m＝()A．10B．5C．15D．25解析：设椭圆的焦点分别为F1，F2，则由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以a＝5，所以a2＝25，所以椭圆的焦点在x轴上，m＝25.答案：D4．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2B．6C．4D．12解析：由椭圆的方程可得a＝，由椭圆的定义可知△ABC的周长是4a＝4.答案：C5．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．a＞3B．a＜－2C．a＞3或a＜－2D．a＞3或－6＜a＜－2解析：由a2＞a＋6＞0得所以所以a＞3或－6＜a＜－2.答案：D二、填空题6．已知椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则k＝________．解析：易知k≠0，椭圆方程可化为x2＋＝1，所以a2＝－，b2＝1.又c＝2，所以－－1＝4，所以k＝－1.答案：－17．已知椭圆的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)，P是椭圆上的一点，则|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则该椭圆的方程是___________．解析：由题意得2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，所以4c＝2a＝4，所以a＝2.1又c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝18．若椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为________．解析：设|PF1|＝x，则|PF2|＝14－x，又2c＝10，根据勾股定理，得x2＋(14－x)2＝100，解得x＝8或x＝6，所以S＝×8×6＝24.答案：24三、解答题9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)a＝5，c＝2；(2)经过P1(，1)，P2(－，－)两点；(3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)．解：(1)由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知，得⇒即所求椭圆的标准方程是＋＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知，得⇒与a＞b＞0矛盾，此种情况不存在．综上，所求椭圆的标准方程是＋＝1.法二：由已知，设椭圆的方程是Ax2＋By2＝1，故⇒即所求椭圆的标准方程是＋＝1.(3)法一：方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1，则焦点是F1(0，2)，F2(0，－2)．设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为点M在椭圆上，所以2a＝|MF1|＋|MF2|＝＋＝(2－)＋(2＋)＝4，所以a＝2，即a2＝12，所以b2＝a2－c2＝12－4＝8，所以椭圆的标准方程为＋＝1.法二：由题意，知焦点F1(0，2)，F2(0，－2)，设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，将x＝2，y＝代入，得＋＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所求椭圆的标准方程为＋＝1.210．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解：如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，所以|PB|＝r.又因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10，所以两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．所以点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．所以2a＝10，2c＝|AB|＝6.所以a＝5，c＝3.所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.所以点P的轨迹方程为＋＝1.B级能力提升1．平面内有两个定点A，B及动点P，设甲：|PA|＋|PB|是定值，乙：点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，则|PA|＋|PB|是定值，由椭圆的定义，知反之不一定成立．答案：B2．若椭圆＋＝1的焦距等于2，则m的值是________．解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝15，所以c2＝m－15，所以2c＝2＝2，解得m＝16；当椭圆的焦点在y轴上时，同理有2＝2，所以m＝14.答案：16或143．已知P是椭圆＋y2＝1上...
