第2课时基本不等式的应用分层演练综合提升A级基础巩固1.当x>0时,f(x)=2xx2+1的最大值为()A.12B.1C.2D.4答案:B2.若x>0,则函数y=-x-1x()A.有最大值-2B.有最小值-2C.有最大值2D.有最小值2答案:A3.用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,这个矩形菜园的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆长度是()A.30mB.36mC.40mD.50m答案:C4.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为2❑√2.5.(1)已知x>0,y>0,x+2y=8,求xy的最大值;(2)设x>-1,求函数y=x+4x+1+6的最小值.解:(1)因为x>0,y>0,所以x+2y≥2❑√2xy,即8≥2❑√2xy,两边平方整理,得xy≤8,当且仅当x=4,y=2时,xy取得最大值8.(2)因为x>-1,所以x+1>0.所以y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5≥2❑√(x+1)·4x+1+5=9,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时取等号,所以当x=1时,原函数有最小值9.B级能力提升6.若正实数x,y满足1x+4y=1,且x+y4>a-3恒成立,则实数a的取值范围为a<7.解析:由题意,知x+y4=(x+y4)(1x+4y)=2+4xy+y4x.因为x>0,y>0,所以4xy>0,y4x>0,所以4xy+y4x≥2❑√4xy·y4x=2,当且仅当4xy=y4x,即4x=y时取等号,所以x+y4≥4,所以a-3<4,解得a<7.7.设a,b为正实数,且1a+1b=2❑√2.(1)求a2+b2的最小值;(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.解:(1)由2❑√2=1a+1b≥2❑√1ab,得ab≥12,当且仅当a=b=❑√22时取等号.故a2+b2≥2ab≥1,当且仅当a=b=❑√22时取等号.所以a2+b2的最小值是1,当且仅当a=b=❑√22取得最小值.(2)由(a-b)2≥4(ab)3,得(1a-1b)2≥4ab,即(1a+1b)2-4ab≥4ab,从而ab+1ab≤2.又因为ab+1ab≥2,当且仅当ab=1时取等号,所以ab+1ab=2,所以ab=1.8.某市准备建一个综合性休闲广场,其示意图如图所示.已知矩形广场的总面积为2000m2,其中阴影部分为通道,通道的宽均为1m,中间的两个小矩形完全相同.(1)用矩形的宽x(单位:m)表示中间的三个矩形的总面积S(单位:m2)的函数解析式,并给出定义域;(2)当矩形的宽x为何值时,S取得最大值,并求出最大值.解:(1)因为矩形广场的总面积为2000m2,所以xy=2000,即y=2000x.因为2a+2=y,所以2a=y-2=2000x-2,所以S=a(x-3)+a(x-2)=(2x-5)(1000x-1)=2005-(5000x+2x),34.因此,其中可作为(l,S)的取值的实数对是选项A和D.答案:AD10.多空题已知a>0,b>0,如果ab=1,那么a+b的最小值为2;如果a+b=1,那么ab的最大值为14.解析:因为a>0,b>0,所以a+b2≥❑√ab,所以a+b≥2❑√ab=2.故当ab=1时,a+b取得最小值2,此时a=b=1.因为当a+b=1时,❑√ab≤a+b2=12,所以ab≤14,此时a=b=12.
