第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式考点1基本不等式的理解1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()。A.a2+b2>2abB.a+b≥2❑√abC.1a+1b>2❑√abD.ba+ab≥2答案：D解析：当a=b时,A不成立;当a<0,b<0时,B,C都不成立,故选D。2.(2018·广东佛山第一中学高一下学期期中)设正实数a,b满足a+b=1,则()。A.1a+1b有最大值4B.❑√ab有最小值12C.❑√a+❑√b有最大值❑√2D.a2+b2有最小值❑√22答案：C解析：对于A,1a+1b=(a+b)(1a+1b)=2+(ba+ab)≥2+2❑√ba·ab=4,当且仅当ba=ab且a+b=1,即a=b=12时等号成立,∴1a+1b的最小值为4,故A不正确。对于B,由不等式得❑√ab≤a+b2=12,当且仅当a=b=12时等号成立,∴❑√ab的最大值为12,故B不正确。对于C,由不等式可得❑√a+❑√b≤2❑√(❑√a)2+(❑√b)22=2❑√a+b2=❑√2,当且仅当a=b=12时等号成立,∴❑√a+❑√b有最大值❑√2,故C正确。对于D,由不等式可得a2+b2≥2(a+b2)2=12,当且仅当a=b=12时等号成立,∴a2+b2有最小值12,故D不正确。故选C。3.已知正数a,b满足ab=10,则a+b的最小值是()。A.10B.25C.5D.2❑√10答案：D解析：a+b≥2❑√ab=2❑√10,当且仅当a=b=❑√10时等号成立,故选D。4.(2019·四川成都高一下学期期中)已知正数a,b满足a2+b2=1,则ab的最大值为()。A.1B.❑√22C.12D.14答案：C解析：已知正数a,b满足a2+b2=1,则ab≤a2+b22=12,当且仅当a=b=❑√22时取等号。故选C。5.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()。A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一答案：A解析： a+b≥2❑√ab,∴ab≤(a+b2)2=4,当且仅当a=b=2时取等号。 c+d≥2❑√cd,∴c+d≥2❑√cd=4,当且仅当c=d=2时取等号。故c+d≥ab,当且仅当a=b=c=d=2时取等号。考点2利用基本不等式比较大小6.若0
2ab,a+b>2❑√ab,a>a2,b>b2,∴a+b>a2+b2,故选D。方法二:取a=12,b=13,则a2+b2=1336,2❑√ab=❑√63,2ab=13,a+b=56,显然56最大。7.设0a+b2>0,∴❑√a2+b22>12,∴a2+b2>12。 b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大。8.已知a>b>c,则❑√(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是。答案：❑√(a-b)(b-c)≤a-c2解析： a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a-c2=(a-b)+(b-c)2≥❑√(a-b)(b-c),当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时等号成立。考点3利用基本不等式求最值之无条件求最值9.已知00,则x2+x+3x+1的最小值为。答案：2❑√3-1解析：由x>0,可得x+1>1。可令t=x+1(t>1),即x=t-1,则x2+x+3x+1=(t-1)2+t-1+3t=t+3t-1≥2❑√t·3t-1=2❑√3-1,当且仅当t=❑√3,即x=❑√3-1时,等号成立。考点4利用基本不等式求最值之有条件求最值13.(2019·湖北天门、仙桃、潜江高一下学期期末联考)设a,b∈R,a2+b2=k(k为常数),且1a2+1+4b2+1的最小值为1,则k的值为()。A.1B.4C.7D.9答案：C解析：由题得a2+1+b2+1=k+2,∴1a2+1+4b2+1=(1a2+1+4b2+1)k+2k+2=(1a2+1+4b2+1)·(a2+1+b2+1k+2)=1k+2[5+b2+1a2+1+4(a2+1)b2+1]≥1k+2×(5+4)=9k+2=1,∴k=7。14.(2019·安徽淮北二模)已知正数x,y满足x+2y-2xy=0,那么2x+y的最小值...
