第1课时基本不等式必备知识基础练知识点一利用基本不等式比较大小1.下列不等式中正确的是()A．a＋≥4B．a2＋b2≥4abC.≥D．x2＋≥22．某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则()A．x＝B．x≤C．x>D．x≥3．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D.＜a＜＜b知识点二利用基本不等式证明不等式4.已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋.5．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8.关键能力综合练一、选择题1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是()A．a＝±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝02．对x∈R且x≠0都成立的不等式是()A．x＋≥2B．x＋≤－2C.≥D.≥23．若0
0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件5．若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一个是()A．a2＋b2B．2C．2abD．a＋b6．(探究题)若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是()A．a－b＞－B.D.＞二、填空题7．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．8．设a，b为非零实数，给出下列不等式：①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2.其中恒成立的是________．(填序号)9．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式：①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2.其中成立的是________．(写出所有正确命题的序号)三、解答题10．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋>a＋b＋c.学科素养升级练1．(多选题)设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是()A．a2＋1＞aB．a2＋9＞6aC．(a＋b)≥4D.≥42．已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值等于________；＋的最小值等于________．3．(1)已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值；(2)已知x>3，求y＝x＋的最小值．2．2基本不等式第1课时基本不等式必备知识基础练1．解析：若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则＜，故C错误；由基本不等式可知D正确．答案：D2．解析：第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， a>0，b>0，x>0，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，∴1＋x≤＝1＋，∴x≤.(当且仅当a＝b时，等号成立)答案：B3．解析：解法一 0＜a＜b，∴a＜＜b，排除A，C.又－a＝(－)＞0，即＞a，排除D，故选B.解法二取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.故选B.答案：B4．证明： a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c>＋＋.5．证明： a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴－1＝＝≥，同理－1≥，－1≥.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得≥··＝8.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．关键能力综合练1．解析：a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a＝1时，等号成立．答案：B2．解析：因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D.答案：D3．解析：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝. a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab， 00，b>0时，a＋b≥2，则当a＋b≤4时有2≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立．当a＝1，b＝4时满足ab≤4，但此时a＋b＝5>4，必要性不成立，综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．答案：A5．解析： 0＜a＜1,0＜b＜1，a≠b.∴a＋b＞2，a2＋b2＞2ab.∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)．又 0＜a＜1,0＜b＜1，∴a(a－1)＜0，b(b－1)＜0，∴a2＋b2－(a＋b)＜0，即a2＋b2＜a＋b，∴a＋b最大，故选D.答案：D6．解析：逐一考查所给的选项：当a＝2，b＝时，a－b＝，－＝，不满足a－b...
