章末综合测评(一)解三角形(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形C[由题知B为最大角，设边BC，AC，AB分别为a，b，c.cosB＝＝－<0，∴B为钝角，∴△ABC是钝角三角形．]2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足＝，则A＝()A．B．C．D．或B[由＝，结合正弦定理，得＝，整理得b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝，由A为三角形的内角，知A＝.]3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则A的对边的长为()A．B．C．D．D[ S△ABC＝bcsinA＝，A＝60°，b＝1∴c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝13.∴a＝.]4．在△ABC中，c＝，则bcosA＋acosB等于()A．1B．C．2D．4B[因为bcosA＋acosB＝b·＋a·＝＝c＝，所以选B．]5．一艘军舰在一未知海域向正西方向行驶(如图所示)，在A处测得北侧一岛屿的顶端D的底部C在西偏北30°方向上，行驶4千米到达B处后，测得C在西偏北75°方向上，此时看山顶D的仰角为30°，则此岛屿露出海平面的部分CD的高度为()A．千米B．千米C．千米D．2千米B[在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC＝＝2，CD＝BCtan30°＝，所以CD的高度为千米．]6．在△ABC中，c＝4，∠B＝30°，请给出一个b的值，使得此三角形有两解，则b的一个可能值是()A．5B．C．2D．1B[由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋16－4a，即a2－4a＋16－b2＝0有两个不等实根，∴(a－2)2＝b2－4有两解，∴a＝2±，∴2＞，解得b＜4，又b2－4＞0，得b＞2，故2＜b＜4，只有选项B落在此范围内，故选B．]7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B，则a的值为()A．4B．3C．2D．2D[由正弦定理得＝，得＝，即a＝6cosB．由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝36cos2B＋1－2×6cosB×1×cosB，解得cosB＝或cosB＝－.又A＝2B，∴A＋B＝3B＜π，∴0＜B＜，∴cosB＝，∴a＝6cosB＝2.]8．如图，在△ABC中，D是边BC上的点，且DC＝AC,2AC＝AD，AB＝2AD，则sinB等于()A．B．C．D．C[设AD＝x，则DC＝AC＝x，AB＝2x.在△ACD中，由余弦定理，得cosC＝＝＝，∴sinC＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴sinB＝＝＝.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，已知a＝7，c＝5，sinC＝，则△ABC的面积为()A．10B．C．D．AC[在△ABC中，a＞c，所以C为锐角，所以cosC＝＝.由＝，得＝，得sinA＝，所以A＝或A＝.当A＝时，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝，所以S△ABC＝acsinB＝×7×5×＝10；当A＝时，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×－×＝，所以S△ABC＝acsinB＝×7×5×＝.故选AC．]10．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，若(a＋b＋c)(a＋c－b)＝(2＋)ac，则cosA＋sinC的可能取值是()A．B．C．1D．2BC[由(a＋b＋c)(a＋c－b)＝(2＋)ac，得a2＋c2－b2＝ac，所以根据余弦定理，得cosB＝＝，又B是锐角，所以B＝，所以A＋C＝，所以C＝－A，所以cosA＋sinC＝cosA＋sin＝cosA＋sincosA－cossinA＝sinA＋cosA＝sin.因为△ABC是锐角三角形，所以即解得＜A＜，所以＜A＋＜，所以cosA＋sinC∈，所以cosA＋sinC的可能取值是和1.故选BC．]11．对于△ABC，有如下说法，其中正确的是()A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形B．若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形C．若sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形D．若AC2＋AB2＝BC2＋AC×AB，AC·AB＝4，则△ABC的面积为2CD[对于A，sin2A＝sin2B，则有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．对于B，因为sinA＝cosB，所以A－B＝或A＋B＝，所以△ABC不一定是直角三角形．对于C，sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，有sin2A＋sin2B＜1－cos2C＝sin2C，所以a2＋b2＜c2，所以△ABC为钝...
