第三课考点突破·素养提升素养一数学运算角度1函数的概念【典例1】有以下判断：①f(x)=与g(x)=表示同一函数；②函数y=f(x)的图像与直线x=1的交点最多有1个；③f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数；④若f(x)=|x-1|-|x|，则f=0.其中正确判断的序号是________.【解析】对于①，由于函数f(x)=的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)=的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x=1不是y=f(x)定义域内的值，则直线x=1与y=f(x)的图像没有交点，如果x=1是y=f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x=1与y=f(x)的图像只有一个交点，即y=f(x)的图像与直线x=1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f=-=0，所以f=f(0)=1.综上可知，正确的判断是②③.答案：②③【类题·通】关于同一个函数的判断(1)判断定义域对应关系是否相同.(2)对应关系是对于自变量的一种运算法则，一是与自变量为x或t无关，二是可以化简变形后相同.【加练·固】(1)下列各组函数中，表示同一函数的是()A.f(x)=|x|，g(x)=B.f(x)=，g(x)=()2C.f(x)=，g(x)=x+1D.f(x)=·，g(x)=(2)下列四个图像中，是函数图像的是()A.①B.①③④C.①②③D.③④【解析】(1)选A.A中，g(x)=|x|，所以f(x)=g(x).B中，f(x)=|x|(x∈R)，g(x)=x(x≥0)，所以两函数的定义域不同.C中，f(x)=x+1(x≠1)，g(x)=x+1(x∈R)，所以两函数的定义域不同.D中，f(x)=·(x+1≥0且x-1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；g(x)=(x2-1≥0)，g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤-1}.所以两函数的定义域不同.(2)选B.由每一个自变量x对应唯一一个f(x)可知②不是函数图像，①③④是函数图像.角度2求函数的解析式【典例2】(1)已知二次函数f(2x+1)=4x2-6x+5，则f(x)=________.(2)已知f(x)满足2f(x)+f=3x-1，则f(x)=________.【解析】(1)方法一：(换元法)令2x+1=t(t∈R)，则x=，所以f(t)=4-6·+5=t2-5t+9(t∈R)，所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).方法二：(配凑法)因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4=(2x+1)2-5(2x+1)+9，所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).方法三：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c.因为f(2x+1)=4x2-6x+5，所以解得所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).答案：x2-5x+9(x∈R)(2)已知2f(x)+f=3x-1，①以代替①式中的x(x≠0)，得2f+f(x)=-1②①×2-②得3f(x)=6x--1，故f(x)=2x--(x≠0).答案：2x--(x≠0)【类题·通】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程法：已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).【加练·固】(1)已知f(x)+3f(-x)=2x+1，则f(x)=________.(2)已知f(+1)=x+2，求f(x)的解析式.【解析】(1)由已知得f(-x)+3f(x)=-2x+1，解方程组得f(x)=-x+.答案：-x+(2)方法一：设t=+1，则x=(t-1)2(t≥1).代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.所以f(x)=x2-1(x≥1).方法二：因为x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1，所以f(+1)=(+1)2-1(+1≥1)，即f(x)=x2-1(x≥1).素养二逻辑推理【典例3】(1)求函数y=-x2+2|x|+1的单调区间.(2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，则f(2)等于()A.-26B.-18C.-10D.10【解析】(1)由于y=即y=画出函数图像如图所示，单调递增区间为(-∞，-1]和[0，1]，单调递减区间为[-1，0]和[1，+∞).(2)选A.方法一：令g(x)=x5+ax3+bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(-2)=-g(2)，又f(x)=g(x)-8，所以f(-2)=g(-2)-8=10，所以g(-2)=18，所以g(2)=-g(-2)=-18.所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.方法二：由已知条件，得①+②得f(2)+f(-2)=-16.又f(-2)=10，所以f(2)=-26.【类题·通】定函数单调性的注意点(1)定义法：证明函数单调性只能用定义法.(2)图像法：作出图像观察，但图像不连续的单调区间不能用“∪”连接.【加练·固】(...
