【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行关系学业分层测评新人教A版选修2-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．l1的方向向量为v1＝(1，2，3)，l2的方向向量v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ＝()A．1B．2C．3D．4【解析】 l1∥l2，∴v1∥v2，则＝，∴λ＝2.【答案】B2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D．平行或在平面内【解析】 AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．【答案】D3．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1，1)B.C.D.【解析】对于B，AP＝，则n·AP＝(3，1，2)·＝0，∴n⊥AP，则点P在平面α内．【答案】B4．已知直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是()A．l⊥αB．l∥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α【解析】因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l⊂α.【答案】D5．若u＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是()A．(0，－3，1)B．(2，0，1)1C．(－2，－3，1)D．(－2，3，－1)【解析】同一个平面的法向量平行，故选D.【答案】D二、填空题6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．【解析】因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x－2－8＝0，所以x＝－10.【答案】－107．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________．【解析】由题意得＝＝，∴x＝，y＝－.【答案】－8．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________．【解析】AB＝(－2，2，－2)，AC＝(－1，6，－8)，AP＝(x－4，－2，0)，由题意知A，B，C，P四点共面，∴AP＝λAB＋μAC＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．∴∴而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11.【答案】11三、解答题9.已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图326所示)，并且OE＝kOA，OF＝kOB，OH＝kOD，AC＝AD＋mAB，EG＝EH＋mEF.求证：【导学号：18490106】图326(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；2(2)AC∥EG；(3)OG＝kOC.【解】(1)由AC＝AD＋mAB，EG＝EH＋mEF，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面．(2) EG＝EH＋mEF＝OH－OE＋m(OF－OE)＝k(OD－OA)＋km(OB－OA)＝kAD＋kmAB＝k(AD＋mAB)＝kAC，∴AC∥EG.(3)由(2)知OG＝EG－EO＝kAC－kAO＝k(AC－AO)＝kOC.∴OG＝kOC.10．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：AE是平面A1D1F的法向量．【证明】设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E，D1(0，0，1)，F，A1(1，0，1)，AE＝，D1F＝，A1D1＝(－1，0，0)． AE·D1F＝·＝－＝0，又AE·A1D1＝0，∴AE⊥D1F，AE⊥A1D1.又A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F，∴AE是平面A1D1F的法向量．[能力提升]1．已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是()A．(4，2，－2)B．(2，0，4)C．(2，－1，－5)D．(4，－2，2)【解析】 α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又 (4，－2，2)＝2(2，－1，1)，解得应选D.3【答案】D2．已知直线l过点P(1，0，－1)，平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量不可能是()A．(1，－4，2)B.C.D．(0，－1，1)【解析】因为PM＝(0，2，4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.【答案】D3．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．【解析】因为AB＝，AC＝，又因为a·AB＝0，a·AC＝0，所以解得所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．【答案】2∶3∶(－4)4.如图327，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱...
