【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算学业分层测评新人教A版选修2-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|＝；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有()A．①②B．②③C．③④D．②④【解析】由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，④运算正确．【答案】D2．已知a＋b＋c＝，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角〈a，b〉＝()A．30°B．45°C．60°D．以上都不对【解析】 a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝.【答案】D3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A.PC与BDB.DA与PBC.PD与ABD.PA与CD【解析】用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故PA·CD＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故DA·PB＝0，排除B，同理PD·AB＝0，排除C.【答案】A4.如图3125，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()图3125A．2BA·ACB．2AD·DBC．2FG·ACD．2EF·CB【解析】2BA·AC＝－a2，故A错；2AD·DB＝－a2，故B错；2EF·CB＝－a2，故D错；2FG·AC＝AC2＝a2，故只有C正确．【答案】C5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：①(AA1＋AD＋AB)2＝3AB2；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为60°.其中正确命题的个数是()【导学号：18490091】A．1个B．2个C．3个D．0个【解析】由题意知①②都正确，③不正确，AD1与A1B的夹角为120°.【答案】B二、填空题6．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________．【解析】|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos60°＝61，∴|2a－3b|＝.【答案】7．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】由题意知即得λ2＋2λ－2<0.∴－1－<λ<－1＋.【答案】(－1－，－1＋)8.如图3126，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．图3126【解析】不妨设棱长为2，则AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋BB1，cos〈AB1，BM〉＝＝＝0，故填90°.【答案】90°三、解答题9．如图3127，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.图3127【证明】设A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c.则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.而A1O＝A1A＋AO＝A1A＋(AB＋AD)＝c＋(a＋b)，BD＝AD－AB＝b－a，OG＝OC＋CG＝(AB＋AD)＋CC1＝(a＋b)＋c.∴A1O·BD＝·(b－a)＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.∴A1O⊥BD.∴A1O⊥BD.同理可证A1O⊥OG.∴A1O⊥OG.又OG∩BD＝O且A1O⊄平面BDG，∴A1O⊥平面BDG.10．已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)BC·ED1；(2)BF·AB1；(3)EF·FC1.【解】如图所示，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)BC·ED1＝AD·(EA1＋A1D1)＝AD·＝b·＝|b|2＝42＝16.(2)BF·AB1＝(BA1＋A1F)·(AB＋BB1)＝·(AB＋AA1)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.(3)EF·FC1＝(EA1＋A1F)·(FD1＋D1C1)＝·＝·＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.[能力提升]1．已知边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1·AC的值为()A．－1B．0C．1D．2【解析】AO1＝AA1＋A1O1＝AA1＋(A1B1＋A1D1)＝AA1＋(AB＋AD)，而AC＝AB＋AD，则AO1·AC＝(AB2＋AD2)＝1，故选C.【答案】C2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．45°【解析】由于AB＝AC＋CD＋DB，则AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝CD2＝1.cos〈...
