【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学业分层测评新人教A版选修2-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．点A(－1，2，1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为()A．(－1，0，1)，(－1，2，0)B．(－1，0，0)，(－1，2，0)C．(－1，0，0)，(－1，0，0)D．(－1，2，0)，(－1，2，0)【解析】点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy平面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B.【答案】B2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是()A．向量AB的坐标与点B的坐标相同B．向量AB的坐标与点A的坐标相同C．向量AB与向量OB的坐标相同D．向量AB与向量OB－OA的坐标相同【解析】因为A点不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；由于AB＝OB－OA，故D正确．【答案】D3．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则B1M可表示为()A.a＋b＋cB.a－b＋cC．－a－b＋cD．－a＋b＋c【解析】由于B1M＝B1B＋BM＝B1B＋(BA＋BC)＝－a＋b＋c，故选D.【答案】D4．正方体ABCDA′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{AO1，AO2，AO3}为基底，AC′＝xAO1＋yAO2＋zAO3，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1B．x＝y＝z＝C．x＝y＝z＝D．x＝y＝z＝2【解析】AC′＝AA′＋AD＋AB＝(AB＋AD)＋(AA′＋AD)＋(AA′＋AB)＝AC＋AD′＋AB′＝AO1＋AO3＋AO2，由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.【答案】A5．已知空间四点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，D(x，－1，3)共面，则x的值为()【导学号：18490096】A．4B．1C．10D．11【解析】AB＝(－2，2，－2)，AC＝(－1，6，－8)，AD＝(x－4，－2，0)， A，B，C，D共面，∴AB，AC，AD共面，∴存在实数λ，μ，使AD＝λAB＋μAC，即(x－4，－2，0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，∴得【答案】D二、填空题6．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是________．【解析】 a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.∴a⊥b.【答案】a⊥b7.如图3132,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则B1M＝________．图3132【解析】B1M＝AM－AB1＝(AB＋AD)－(AB＋AA1)＝－AB＋AD－AA1＝－a＋b－c.【答案】－a＋b－c8．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．【解析】由题意知点A对应的向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8，3，12)．【答案】(8，3，12)三、解答题9．已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，能否以OA，OB，OC作为空间的一个基底？【导学号：18490097】【解】假设OA，OB，OC共面，根据向量共面的充要条件有OA＝xOB＋yOC，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.∴此方程组无解．∴OA，OB，OC不共面．∴{OA，OB，OC}可作为空间的一个基底．10．如图3133，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，MA＝－AC，ND＝A1D，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，试用a，b，c表示MN.图3133【解】连接AN，则MN＝MA＋AN.由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得AC＝AB＋AD＝a＋b，MA＝－AC＝－(a＋b)，又A1D＝AD－AA1＝b－c，故AN＝AD＋DN＝AD－ND＝AD－A1D＝b－(b－c)，MN＝MA＋AN＝－(a＋b)＋b－(b－c)＝(－a＋b＋c)．[能力提升]1．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB.M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则OG等于()A.OA＋OB＋OCB.(OA＋OB＋OC)C.(OA＋OB＋OC)D.OB＋OA＋OC【解析】如图，OG＝(OM＋ON)＝OM＋×(OB＋OC)＝OA＋OB＋OC＝(OA＋OB＋OC)．【答案】B2．若向量MA，MB，MC的起点M和终点A，B，C互不重合无三点共线，则能使向量MA，MB，MC成为空间一组基底的关系是()A.OM＝OA＋OB＋OCB.MA＝MB＋MCC.OM＝OA＋OB＋OCD.MA＝2MB－MC【答案】C3．在空间四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD...
