3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为()A．(8,0)B．(－12,0)C．(8,0)或(－12,0)D．(－8,0)或(12,0)【解析】设点P的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得＝6，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．【答案】C2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于()A.B.C.D.【解析】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝＝.【答案】C3．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为()A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.【答案】B4．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为()A．3x－y－13＝0B．3x－y＋13＝0C．3x＋y－13＝0D．3x＋y＋13＝0【解析】由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝＝，∴kl＝－3，由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.【答案】C5．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于()A．3B．4C．5D．6【解析】设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.【答案】C二、填空题6．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________.【解析】|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.【答案】27．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．【解析】设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，且＝|PA|.|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.【答案】三、解答题8．已知直线l1和l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且＝，求直线l的方程.【解】由题意知l1∥l2，故l1∥l2∥l.设l的方程为7x＋8y＋c＝0，则2·＝，解得c＝21或c＝5.∴直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.9．已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程．【解】∵由解得∴中心坐标为(－1,0)．∴中心到已知边的距离为＝.设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.∵正方形中心到各边距离相等，∴＝和＝.∴m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0.∴其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.[能力提升]10．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为()A．2B.C.D．2【解析】将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q，由得交点Q(1,1)，所以直线l恒过定点Q(1,1)，于是点P到直线l的距离d≤|PQ|＝，即点P到直线l的距离的最大值为.【答案】B11．如图333，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．图333【解】设l2的方程为y＝－x＋b(b>0)，则题图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．所以AD＝，BC＝b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝＝＝(b>1)，由梯形面积公式得×＝4，所以b2＝9，b＝±3.但b>1，所以b＝3.从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.
