【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三章导数及其应用学业分层测评17函数的极值与导数新人教A版选修1-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极值情况是()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极小值为－27，无极大值【解析】y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y′＝0，得x＝－1或x＝3.当－2＜x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜2时，y′＜0.所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值．【答案】C2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)【解析】因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．【答案】B3．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点【解析】 f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时，函数f(x)为增函数．同理可求，x<－1时，函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．【答案】D4．(2016·邢台期末)函数f(x)＝ax3＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是()A．a＞1或a≤0B．a＞1C．0＜a＜1D．a＞1或a＜0【解析】f(x)有极值的充要条件是f′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，即4a2－4a＞0，解得a＜0或a＞1.故选D.【答案】D5．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则()A．a<－1B．a>－1C．a<－D．a>－【解析】因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，又因为x>0，所以－a>1，即a<－1.【答案】A二、填空题6．(2016·临沂高二检测)若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于__________．【解析】y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′<0；x∈(0,4)时，y′>0.∴x＝4时函数取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.【答案】－197．函数f(x)＝alnx＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.【导学号：26160089】【解析】f′(x)＝＋2bx＋3＝， 函数的极值点为x1＝1，x2＝2，∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，也即2bx2＋3x＋a＝0的两根．∴由根与系数的关系知解得【答案】－2－8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图3－3－7所示，则函数的极小值是________．图3－3－7【解析】由图象可知，当x<0时，f′(x)<0，当00，故x＝0时，函数f(x)取到极小值f(0)＝c.【答案】c三、解答题9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．【解】由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)2(1－ln2＋a)故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)．所以f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．10.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图3－3－8所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4，求a，b，c的值．图3－3－8【解】 函数的图象经过(0,0)点，∴c＝0.又图象与x轴相切于(0,0)点，且f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∴f′(0)＝0，即0＝3×02＋2a×0＋b，得b＝0.∴f(x)＝x3＋ax2.令f(x)＝x3＋ax2＝0，得x＝0或x＝－a，由图象知a<0.令f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)＝0，∴当0－a时，f′(x)>0.∴当x＝－a时，函数有极小值－4.即3＋a2＝－4，解得a＝－3.∴a＝－3，b＝0，c＝0.[能力提升]1．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点【解析】不妨取函数为f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3(x...
