3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大（小）值与导数A级基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是()A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D．若函数在给定区间上有最大(小)值，则有且仅有一个最大(小)值，但若有极值，则可有多个极值解析：由极值与最值的区别知选D.答案：D2．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值解析：f′(x)＝2＋sinx＞0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．答案：A3．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a的值为()A．3B．1C．2D．－1解析：f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.答案：B4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是()A．[0，1)B．(0，1)C．(－1，1)D.解析：因为f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又因为x∈(0，1)，所以0＜a＜1.答案：B5．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为()A．f(a)－g(a)B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)D．f(b)－g(a)解析：令u(x)＝f(x)－g(x)，则u′(x)＝f′(x)－g′(x)＜0，所以u(x)在[a，b]上为减函数，所以u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．答案：A二、填空题6．函数f(x)＝＋x(x∈[1，3])的值域为________．解析：f′(x)＝－＋1＝，所以在[1，3]上f′(x)＞0恒成立，即f(x)在[1，3]上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝，故函数f(x)的值域为.答案：7．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________．解析：由题意，得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x＝±2，又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32.答案：328．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1，1]上的最小值是________．解析：f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.因为f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，f(1)＝－＋a，所以f(x)max＝a＝2.所以f(x)min＝－＋a＝－.答案：－三、解答题9．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值．解：(1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，所以f′(x)＝3x2－2ax－4.(2)由f′(－1)＝0，得a＝，此时有f(x)＝(x2－4)，f′(x)＝3x2－x－4.由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.又f＝－，f(－1)＝，f(－2)＝0，f(2)＝0，所以f(x)在[－2，2]上的最大值为，最小值为－.10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在区间[－2，2]上的最小值．解：(1)因为f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)因为在(－1，3)上f′(x)＞0，所以f(x)在[－1，2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，且f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)＞f(－2)．所以f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，所以a＝－2.所以f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.所以f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.B级能力提升1．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|达到最小值时t的值为()A．1B.C.D.解析：由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－lnt(t＞0)．y′＝2t－＝＝.当0＜t＜时，y′＜0，可知y在上单调递减；当t＞时，y′＞0，可知y在上单调递增．故当t＝时，|MN|有最小值．答案：D2．已知函数f(x)＝＋2lnx，若当a＞0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：由f(x)＝＋2lnx，得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a＞0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝....
