3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义A级基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是()A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线D．若y＝f(x)在点(x0，f(x))处有切线，则f′(x0)不一定存在解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A、B错误；f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x))的切线的斜率不存在，但切线可能存在，此时切线方程为x＝x0，故C错误D正确．答案：D2．设f(x)为可导函数，且满足＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为()A．1B．－1C．2D．－2解析：令x→0，则2x→0，所以＝＝f′(1)＝－1，故过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为－1.答案：B3．若曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B.C．－D．－1解析：因为f′(1)＝＝＝(2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1.答案：A4．y＝－在点处的切线方程是()A．y＝x－2B．y＝x－C．y＝4x－4D．y＝4x－2解析：先求y＝－的导数：Δy＝－＋＝，＝，＝＝，即y′＝，所以y＝－在点处的切线斜率为k＝y′|x＝＝4.所以切线方程是y＋2＝4，即y＝4x－4.答案：C5．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为()A．(－2，－8)B．(－1，－1)或(1，1)C．(2，8)D.解析：设点P的坐标为(x0，y0)，则k＝f′(x0)＝＝＝＝[(Δx)2＋3x＋3x0·Δx]＝3x.因为k＝3，所以3x＝3，所以x0＝1或x0＝－1，所以y0＝1或y0＝－1.所以点P的坐标为(－1，－1)或(1，1)．答案：B二、填空题6．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于________．解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.答案：37．曲线f(x)＝x2的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为________．解析：f′(x)＝＝＝x.因为直线x－y＋1＝0的斜率为1，所以x＝1，所以f(1)＝×1＝，切点为.故切线方程为y－＝1·(x－1)，即x－y－＝0.答案：x－y－＝08．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．解析：由导数的几何意义，得f′(1)＝，又切点在切线上，故f(1)＝×1＋2＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.答案：3三、解答题9．在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？解：y′＝＝(2x＋Δx)＝2x.设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，则＝2x0＝4，解得x0＝2.所以y0＝x＝4，即P(2，4)．设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，则＝2x1＝－，解得x1＝－.所以y1＝x＝，即Q.故抛物线y＝x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1，1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．解：因为曲线y＝ax2＋bx＋c过点P(1，1)，所以a＋b＋c＝1.①因为y′＝2ax＋b，所以y′|x＝2＝4a＋b，所以4a＋b＝1②又曲线过点Q(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1，③联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.B级能力提升1．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1，3)，则b的值为()A．3B．－3C．5D．－5解析：点(1，3)既在直线上，又在曲线上．由于y′＝＝3x2＋a，所以y′|x＝1＝3＋a＝k，将(1，3)代入y＝kx＋1，得k＝2，所以a＝－1，又点(1，3)在曲线y＝x3＋ax＋b上，故1＋a＋b＝3，又由a＝－1，可得b＝3.答案：A2．曲线f(x)＝在点(3，3)处的切线的倾斜角等于________．解析：f′(x)＝＝9＝－9＝－，所以f′(3)＝－＝－1，又因为直线的倾斜角范围是[0°，180°)，所以倾斜角为135°.答案：135°3．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．解：因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)2＋(Δx)3，所以＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3x＋2ax0－9，即f′(x0)＝3x＋2ax0－9，所以f′(x0)＝3(x0＋)2－9－.当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.因为斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，所以该切线斜率为－12.所以－9－＝－12.解得a＝±3.又a＜0，所以a＝－3.
